88. 稳健 LQ 贝利模型#
88.1. 概述#
本讲座将 不完全市场与完全市场下的消费平滑 中的贝利经济嵌入到 稳健消费平滑与预防性储蓄 的稳健永久收入框架中。
这是关于 LQ 永久收入模型的四篇讲座中的最后一篇。
结果得到了一族经济体，其中的消费者对生成其收入的模型存在分歧，但行为却完全相同。
利用 Hansen et al. [1999] 的观测等价定理，我们证明了
连续统消费者 \(i\) 如何在其稳健性参数 \(\sigma_i \leq 0\) 和贴现因子 \(\beta_i\) 上存在差异，只要每对 \((\sigma_i,\beta_i)\) 都位于一条观测等价轨迹上
每个这样的消费者如何选择与完全信任禀赋过程的基准 \((\sigma = 0, \beta)\) 代理人相同的消费-储蓄规则
均衡利率 \(R = \beta^{-1}\) 以及所有总量和横截面动态因此如何与标准贝利模型的对应内容完全一致
尽管如此，不同的 \((\sigma_i,\beta_i)\) 代理人如何对其非金融收入持有真正不同的主观模型
该经济体是一个纯禀赋经济，因此没有实物资本，投资也不起任何作用。
我们将 稳健消费平滑与预防性储蓄 视为前置知识，并沿用其记号。
备注
与 稳健消费平滑与预防性储蓄 中一样，\(w_{t+1}\) 是基准冲击，\(v_{t+1}\) 是对其条件均值的扭曲，\(\sigma \le 0\) 是稳健性参数，\(\eta_1\) 和 \(\eta_2\) 分别是永久性和暂时性禀赋冲击的标准差，\(a_t\) 表示净资产。
让我们从一些导入开始。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
88.2. 将贝利经济映射到 HST 框架#
我们将 稳健消费平滑与预防性储蓄 中的稳健模型特殊化为 \(\lambda = \delta_h = 0\)，因此没有习惯效应也没有耐用品，并特殊化为不含实物资本的纯禀赋经济，即 \(k_t = 0\)。
在这种情况下，服务等于消费，即 \(s_t = c_t\)。
唯一交易的证券是一期无风险债券，\(a_t\) 表示家庭的净资产头寸，因此正的 \(a_t\) 表示财富。
禀赋过程遵循以下状态空间表示
采用双因子设定 \(y_t = z_{1t}+z_{2t}\)，\(\check A = \mathrm{diag}(1,0)\) 且 \(\check C = \mathrm{diag}(\eta_1,\eta_2)\)。
家庭的增广状态向量为 \(x_t = [a_t,\; z_t^\top]^\top\)，稳健消费平滑与预防性储蓄 中的运动规律特殊化为
目标函数为 \(\mathbb{E}_0 \sum_{t=0}^\infty \beta^t\bigl[-(c_t - b)^2\bigr]\)，这正是 \(\sigma = 0\) 且极乐水平为常数 \(b_t \equiv b\) 时的 HST 准则。
这里的期间回报没有写成带有 \(\tfrac12\) 因子的形式，这一选择并非无关紧要：它固定了本文始终使用的稳健性参数 \(\sigma\) 的尺度，因为对回报进行缩放会使 \(\sigma\) 按相同的倍数缩放。
因此，当 \(\sigma = 0\) 时，稳健贝尔曼方程恰好简化为 LQ 永久收入模型 中的 LQ 问题，从而证实 HST 框架内嵌了贝利模型。
88.3. 该经济体的稳健性标量#
对于稳健性而言，禀赋过程的一切相关信息都可归纳为 稳健消费平滑与预防性储蓄 中导出的标量 \(\alpha^2\)。
对于双因子禀赋，它是
这是消费创新项 \(h\,w_{t+1}\) 的方差，其中 \(h = (1-\beta)\check G(I-\beta\check A)^{-1}\check C = \begin{pmatrix}\eta_1 & (1-\beta)\eta_2\end{pmatrix}\)。
在当前的设定中，\(\alpha^2\) 还有第二层同样具体的含义，这一点我们在 不完全市场与完全市场下的消费平滑 中已经遇到过。
由于个人消费是创新方差为 \(\alpha^2\) 的随机游走，从共同初始条件出发的年龄为 \(t\) 的代理人之间的消费横截面方差恰好为 \(t\,\alpha^2\)。
因此，决定消费者稳健性担忧强度的那个标量，同样也决定了贝利横截面扩散的速度。
88.4. 贝利观测等价轨迹#
在均衡利率 \(R = \beta^{-1}\) 处应用 稳健消费平滑与预防性储蓄 中的观测等价定理 定理 87.1，可得贝利观测等价轨迹
对于 \(\sigma < 0\)，我们有 \(\hat\beta(\sigma) < \beta\)。
具有 \((\sigma, \hat\beta(\sigma))\) 这一对参数的代理人对模型误设更为担忧，因为 \(\sigma\) 更低，但同时也更不耐心，因为 \(\hat\beta\) 更低。
这两种力量恰好相互抵消，使消费决策规则保持不变。
该轨迹只有在 稳健消费平滑与预防性储蓄 的崩溃点之上才是可行的，
在 \(\underline\sigma\) 以下，个体稳健控制问题无解，因此不存在可描述的经济体。
这一界限从下文推导出的最坏情形动态的角度来看具有明确的含义。
由于 \(\zeta(\sigma) = \beta/\hat\beta(\sigma)\) 是代理人 \(\sigma\) 所担忧的自身边际效用增长率，崩溃点恰好是使下式成立的 \(\sigma\) 值
因此，\(\underline\sigma\) 是这样一个稳健性水平：在此水平上，所担忧的边际效用增长恰好达到总利率，而代理人的贴现最坏情形目标函数将不再收敛。
若对稳健性的关注再强一些，代理人便会为一个自己无法评估价值的未来而防范。
88.5. 异质类型下的均衡#
现在我们可以让连续统的类型来充实经济体，这些类型在其对稳健性的担忧程度上有所不同。
命题 88.1 (一个稳健贝利均衡)
设单位区间内的每个代理人 \(i\) 由稳健性参数 \(\sigma_i \in (\underline\sigma, 0]\) 标示，其分布服从任意分布 \(\Phi\)，并设代理人 \(i\) 具有贴现因子
使得每对 \((\sigma_i,\beta_i)\) 都位于轨迹 (88.4) 上。
那么
每个代理人的最优消费计划都与标准 \((\sigma = 0,\, \beta)\) 代理人的相同，
\(R = \beta^{-1}\) 是一个均衡总名义利率，与 \(\Phi\) 无关，且
总量和横截面动态与 不完全市场与完全市场下的消费平滑 中基准贝利经济的对应内容一致。
Proof. 根据 定理 87.1，面对总回报率 \(R = \beta^{-1}\) 的具有参数 \((\sigma_i, \hat\beta(\sigma_i))\) 的代理人，会选择与基准 \((0,\beta)\) 代理人相同的消费-储蓄规则。
这一点对每个代理人都成立，并不要求所有 \(\sigma_i\) 相等，由此得到第 1 部分。
由于所有个体规则都与基准规则一致，商品市场出清条件 \(\int c_t^i\, di = Y\) 和债券市场条件 \(\int a_t^i\, di = 0\) 就是基准条件，因此它们在 \(R = \beta^{-1}\) 处得到满足，原因与 不完全市场与完全市场下的消费平滑 中给出的完全相同。
由于市场出清从不涉及 \(\Phi\)，使市场出清的利率也同样与 \(\Phi\) 无关，由此得到第 2 部分。
这一论证是一种验证：轨迹 (88.4) 本身就是在 \(R = \beta^{-1}\) 处构造出来的，因此我们所证明的是，对于任意 \(\Phi\)，该利率都能作为均衡自我再现，而并非说明不存在其他可能的均衡利率。
第 3 部分成立是因为总量和横截面对象是个体路径的积分，而个体路径正是基准路径。
因此，稳健性类型的分布 \(\Phi\) 完全无法通过数量数据识别出来。
一位观察到每个代理人在每个日期的 \(\{c_t^i, a_t^i\}\) 的计量经济学家无法判断该经济体是完全由 \(\sigma_i = 0\) 的代理人组成，还是完全由 \(\sigma_i\) 接近 \(\underline\sigma\) 的代理人组成，抑或是任何混合。
这一均衡的一个特征值得关注，因为它与一个熟悉的结果相悖。
在一个具有异质贴现因子和共同利率的模型中，最有耐心的类型通常会最终持有全部财富，长期分布也会退化。
在这里，每个 \(\sigma_i < 0\) 的类型在市场利率下都满足 \(\beta_i R < 1\)，因而都缺乏耐心，但没有任何一种类型相对于其他类型而言会出现资产减少。
原因在于，缺乏耐心与预防性动机在每一个日期都相互抵消，而不仅仅是在平均意义上抵消，因此各类型之间的资产路径与消费路径都保持一致。
因此，稳健性类型在任何时间跨度上都与财富无关，通常的分层力量被彻底中和，而不仅仅是被减缓。
88.6. 代理人之间真正不同之处#
轨迹上的代理人在他们所做的事情上无法区分，但在他们所信的事情上却可以区分。
具有 \(\sigma_i < 0\) 的代理人会对其条件期望应用最坏情形扭曲 \(v_{t+1}^i = K(\sigma_i,\beta_i)\,\mu_{s,t}^i\)，而具有 \(\sigma_i = 0\) 的代理人则照单全收近似模型。
根据 稳健消费平滑与预防性储蓄，代理人 \(i\) 的边际效用的最坏情形规律为
只有对于完全信任的类型 \(\sigma_i = 0\)，等号才成立。
在 \(\lambda = \delta_h = 0\) 且极乐点为常数的情况下，我们有 \(\mu_{st} = b - c_t\)，因此代理人 \(i\) 的最坏情形预期消费路径为
相比之下，在近似模型下，消费是一个鞅，即对于每个 \(h\) 都有 \(\mathbb{E}_t c_{t+h} = c_t\)。
方程 (88.9) 表明，一个尚未达到极乐点的稳健代理人，在其最坏情形模型下预期消费将以几何速率 \(\zeta_i\) 偏离极乐点。
代理人越稳健，其防范的漂移速度就越快，进行的预防性储蓄也就越多。
而更低的 \(\beta_i\) 恰好抵消了这一额外储蓄，这就是为什么所有类型实现的路径都相同的原因。
88.7. 计算#
我们使用前几篇讲座的校准。
β = 0.95 # benchmark discount factor, R = 1/β
η1 = 0.15 # std of permanent shock
η2 = 0.30 # std of transitory shock
b = 1.0 # bliss point
R = 1 / β
h = np.array([η1, (1 - β) * η2]) # consumption innovation loadings
α2 = h @ h
α = np.sqrt(α2)
σ_lo = -(1 - β)**2 / α2 # breakdown point, eq:rbew-breakdown
print(f"α^2 = {α2:.6f} α = {α:.6f}")
print(f"breakdown σ̲ = {σ_lo:.6f}, where β̂ = {β + σ_lo * α2 * β / (1 - β):.6f}"
f" (β² = {β**2:.6f})")
α^2 = 0.022725 α = 0.150748
breakdown σ̲ = -0.110011, where β̂ = 0.902500 (β² = 0.902500)
接下来我们构建一组分布在可行范围内的类型，并记录它们之间的区别。
我们沿用 稳健消费平滑与预防性储蓄 中的检测误差概率，来报告在 \(T = 40\) 个季度的样本中，每种类型的最坏情形模型有多难被检测出来。
def worst_case_persistence(σ, β, α2):
"Worst-case persistence ζ(σ) of marginal utility, eq:rbew-zeta."
return 1 / (1 + σ * α2 / (1 - β))
def simulate_paths(ζ, α, T, n_paths, seed):
"Simulate n_paths draws of μ_{t+1} = ζ μ_t + α w_{t+1} from μ_0 = 0."
rng = np.random.default_rng(seed)
paths = np.zeros((n_paths, T + 1))
shocks = rng.standard_normal((n_paths, T))
for t in range(T):
paths[:, t + 1] = ζ * paths[:, t] + α * shocks[:, t]
return paths
def log_likelihood_ratio(paths, ζ, α):
"Return log p_worst(path) - log p_approx(path)."
lag, lead = paths[:, :-1], paths[:, 1:]
return 0.5 * (np.sum(((lead - lag) / α)**2, axis=1)
- np.sum(((lead - ζ * lag) / α)**2, axis=1))
def detection_error_probability(ζ, α, T=40, n_paths=10_000, seed=1234):
"Finite-sample DEP for the approximating and worst-case scalar laws."
if np.isclose(ζ, 1.0):
return 0.5
approx = simulate_paths(1.0, α, T, n_paths, seed)
worst = simulate_paths(ζ, α, T, n_paths, seed + 1)
return 0.5 * (np.mean(log_likelihood_ratio(worst, ζ, α) < 0)
+ np.mean(log_likelihood_ratio(approx, ζ, α) > 0))
σ_types = np.array([0.0, 0.3, 0.6, 0.9]) * σ_lo
β_types = β + σ_types * α2 * β / (1 - β)
ζ_types = worst_case_persistence(σ_types, β, α2)
dep_types = np.array([detection_error_probability(ζ, α) for ζ in ζ_types])
print(f"{'σ_i':>10}{'β_i':>10}{'ζ_i':>10}{'DEP':>8}")
for σ_i, β_i, ζ_i, dep in zip(σ_types, β_types, ζ_types, dep_types):
print(f"{σ_i:10.4f}{β_i:10.4f}{ζ_i:10.4f}{dep:8.3f}")
σ_i β_i ζ_i DEP
-0.0000 0.9500 1.0000 0.500
-0.0330 0.9357 1.0152 0.426
-0.0660 0.9215 1.0309 0.333
-0.0990 0.9072 1.0471 0.233
这四种类型在耐心程度和其最坏情形模型的悲观程度上存在实质性差异。
我们现在确认，尽管如此，它们的行为仍然完全相同。
命题 88.1 断言，每种类型在各自的 \((\sigma_i, \beta_i)\) 上求解自己的问题，得到的都是基准决策规则。
要检验这一断言，就需要分别求解每种类型自己的稳健性问题，然后比较得出的规则。
如果直接假设共同规则成立，再报告由此得到的路径相互吻合，那将无法证明任何东西。
我们沿用 稳健永久收入与定价 中的风险敏感型 LQ 求解器，将其状态成本参数重命名为 Rc，因为在此处 \(R\) 表示总利率。
下面的期内收益为 \(-(c_t-b)^2\)，与上文固定的 \(\sigma\) 的归一化保持一致。
def solve_rslq(A, B, C, Q, Rc, β, σ, N=None, tol=1e-12, max_iter=50_000):
"Risk-sensitive LQ regulator; returns F in the rule c = -F x."
A, B, C, Q, Rc = map(np.atleast_2d, (A, B, C, Q, Rc))
n, kw = A.shape[0], C.shape[1]
if N is None:
N = np.zeros((B.shape[1], n))
Ω, Iw = -np.eye(n), np.eye(kw)
for _ in range(max_iter):
M = Iw - σ * C.T @ Ω @ C
D = Ω + σ * Ω @ C @ np.linalg.solve(M, C.T @ Ω)
F = np.linalg.solve(Q - β * B.T @ D @ B, N - β * B.T @ D @ A)
Acl = A - B @ F
Ω_new = -Rc - F.T @ Q @ F + (F.T @ N + N.T @ F) + β * Acl.T @ D @ Acl
if np.max(np.abs(Ω_new - Ω)) < tol:
return F
Ω = Ω_new
raise RuntimeError('risk-sensitive Riccati iteration did not converge')
将代理人的问题写成状态 \(x_t = \begin{pmatrix}1 & a_t & z_{1t} & z_{2t}\end{pmatrix}'\) 和控制变量 \(c_t\)，与 (88.2) 中的时序保持一致。
常数项携带极乐点，且每个代理人面对的是同样的市场利率 \(R = \beta^{-1}\)；各类型之间只有 \(\beta_i\) 与 \(\sigma_i\) 不同。
def bewley_lq(b, η1, η2, R):
"State-space matrices for the agent's problem, period return -(c-b)^2."
A_x = np.array([[1, 0, 0, 0],
[0, R, R, R],
[0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 0]], float)
B_x = np.array([[0.], [-R], [0.], [0.]])
C_x = np.array([[0, 0], [0, 0], [η1, 0], [0, η2]], float)
Q_x = np.array([[1.0]])
Rc_x = np.zeros((4, 4))
Rc_x[0, 0] = b**2
N_x = np.array([[-b, 0, 0, 0]], float)
return A_x, B_x, C_x, Q_x, Rc_x, N_x
A_x, B_x, C_x, Q_x, Rc_x, N_x = bewley_lq(b, η1, η2, R)
F_bench = solve_rslq(A_x, B_x, C_x, Q_x, Rc_x, β, 0.0, N_x)
print("benchmark rule c = "
+ " + ".join(f"{v:.4f}·{n}" for v, n in
zip(-F_bench.ravel(), ["1", "a", "z1", "z2"])))
print(f"implied consumption innovation {np.round((-F_bench @ C_x).ravel(), 6)}")
print(f"analytic h {np.round(h, 6)}")
benchmark rule c = 0.0000·1 + 0.0500·a + 1.0000·z1 + 0.0500·z2
implied consumption innovation [0.15 0.015]
analytic h [0.15 0.015]
基准规则重现了解析的创新载荷 \(h\)，这验证了这套状态空间设定正是代数推导所描述的那一个。
现在求解各类型自己的问题并进行比较。
F_types = [solve_rslq(A_x, B_x, C_x, Q_x, Rc_x, β_i, σ_i, N_x)
for σ_i, β_i in zip(σ_types, β_types)]
print(f"{'σ_i':>10}{'β_i':>10}{'max |F_i - F_bench|':>22}")
for σ_i, β_i, F_i in zip(σ_types, β_types, F_types):
print(f"{σ_i:10.4f}{β_i:10.4f}{np.max(np.abs(F_i - F_bench)):22.2e}")
σ_i β_i max |F_i - F_bench|
-0.0000 0.9500 0.00e+00
-0.0330 0.9357 1.27e-12
-0.0660 0.9215 2.32e-12
-0.0990 0.9072 9.43e-12
每种类型的规则系数都与基准规则一致，精确到小数点后十一位甚至更高，这正是 命题 88.1 第 1 部分的体现。
为了说明这项检验确实具有区分力，我们将每种类型的贴现因子偏离轨迹线百分之一，保持 \(\sigma_i\) 不变，然后重新求解。
print(f"{'σ_i':>10}{'on locus':>12}{'+1% off':>12}{'-1% off':>12}")
for σ_i, β_i in zip(σ_types[1:], β_types[1:]):
devs = []
for mult in (1.0, 1.01, 0.99):
F_off = solve_rslq(A_x, B_x, C_x, Q_x, Rc_x, β_i * mult, σ_i, N_x)
devs.append(np.max(np.abs(F_off - F_bench)))
print(f"{σ_i:10.4f}" + "".join(f"{d:12.1e}" for d in devs))
σ_i on locus +1% off -1% off
-0.0330 1.3e-12 2.6e-01 2.7e-01
-0.0660 2.3e-12 4.5e-01 4.7e-01
-0.0990 9.4e-12 1.7e+00 1.0e+00
偏离轨迹线百分之一，就会使规则在小数点第一位上发生变化，因此上面的一致性并非比较方式所导致的假象。
最后，用各自求出的规则来模拟每种类型，采用相同的冲击。
T = 60
rng = np.random.default_rng(42)
shocks = rng.standard_normal((T, 2)) # common shocks for all types
c_paths = np.zeros((len(σ_types), T + 1))
for i, F_i in enumerate(F_types):
x = np.array([1.0, 0.0, 0.0, 0.0]) # [1, a_t, z_1, z_2]
for t in range(T + 1):
c_paths[i, t] = -(F_i @ x).item()
if t < T:
x = A_x @ x + B_x.ravel() * c_paths[i, t] + C_x @ shocks[t]
print("max absolute difference across types:"
f" {np.abs(c_paths - c_paths[0]).max():.2e}")
print("max deviation from the random walk with innovation h:"
f" {np.abs(c_paths[0] - np.concatenate([[0], np.cumsum(shocks @ h)])).max():.2e}")
max absolute difference across types: 1.12e-11
max deviation from the random walk with innovation h: 5.78e-14
各路径完全一致，并且每一条都重现了代数所预测的、以 \(h\) 为创新载荷的随机游走。
下图对比了各类型的行为与其信念之间的差异。
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
for i, σ_i in enumerate(σ_types):
axes[0].plot(c_paths[i], lw=3 - 0.6 * i, alpha=0.9,
label=rf'$\sigma_i={σ_i:.3f}$')
axes[0].set_xlabel('$t$')
axes[0].set_ylabel('$c_t$')
axes[0].set_title('realized consumption')
axes[0].legend()
horizons = np.arange(41)
c_now = c_paths[0, 20]
axes[1].axhline(c_now, color='k', linestyle=':', lw=1.2,
label='approximating model')
for σ_i, ζ_i in zip(σ_types, ζ_types):
if σ_i == 0.0:
continue
axes[1].plot(horizons, b - ζ_i**horizons * (b - c_now), lw=2,
label=rf'worst case, $\sigma_i={σ_i:.3f}$')
axes[1].set_xlabel('horizon $h$')
axes[1].set_ylabel(r'$\hat{\mathbb{E}}_t\,c_{t+h}$')
axes[1].set_title('expected consumption under each belief')
axes[1].legend()
fig.tight_layout()
plt.show()
图 88.1 Same actions, different beliefs. Left: realized consumption paths for four robustness types facing common shocks; the curves lie exactly on top of one another. Right: each type’s worst-case expected consumption path from a common date, against the flat martingale forecast of the approximating model.#
图 88.1 的左图显示了四条完全重叠的曲线。
右图则表明，同样这四个代理人对未来的预期却截然不同。
\(\sigma_i = 0\) 的代理人预期消费将维持在原地不动。
每个稳健代理人都在防范消费从极乐点漂移出去的未来，代理人越稳健，漂移速度就越快。
最后我们检验 命题 88.1 的第 3 部分，即横截面的行为与基准贝利经济一致。
我们模拟一个分布在可行类型范围内的大规模人群，每个代理人各自获得自己的冲击并求解自己的问题，并将消费的横截面方差与基准预测 \(t\,\alpha^2\) 进行比较。
n_agents, T_pop = 20_000, 40
rng = np.random.default_rng(1234)
# a population spread over the admissible range, each solving its own problem
σ_pop = np.linspace(0.99 * σ_lo, 0.0, 12)
β_pop = β + σ_pop * α2 * β / (1 - β)
F_pop = [solve_rslq(A_x, B_x, C_x, Q_x, Rc_x, β_j, σ_j, N_x)
for σ_j, β_j in zip(σ_pop, β_pop)]
type_of = rng.integers(0, len(σ_pop), size=n_agents)
pop_shocks = rng.standard_normal((n_agents, T_pop, 2))
c_pop = np.zeros((n_agents, T_pop + 1))
for j, F_j in enumerate(F_pop):
m = type_of == j
x = np.zeros((m.sum(), 4))
x[:, 0] = 1.0 # the constant
for t in range(T_pop + 1):
c_pop[m, t] = -(x @ F_j.ravel())
if t < T_pop:
x = (x @ A_x.T + np.outer(c_pop[m, t], B_x.ravel())
+ pop_shocks[m, t] @ C_x.T)
print(f"{'t':>5}{'cross-section var':>20}{'t·α²':>12}")
for t in [10, 20, 30, 40]:
print(f"{t:5d}{c_pop[:, t].var():20.5f}{t * α2:12.5f}")
print(f"\ncorrelation between σ_i and c_T: "
f"{np.corrcoef(σ_pop[type_of], c_pop[:, T_pop])[0, 1]:+.4f}")
t cross-section var t·α²
10 0.22836 0.22725
20 0.46220 0.45450
30 0.68968 0.68175
40 0.91503 0.90900
correlation between σ_i and c_T: -0.0002
横截面方差以速率 \(\alpha^2\) 线性增长，与 不完全市场与完全市场下的消费平滑 中的结果完全一致。
稳健性类型与消费之间不存在相关性，因此即便每个代理人确实求解了各不相同的问题，类型的分布在数据中也不会留下任何痕迹。
88.8. 结语#
我们将单代理人的稳健永久收入模型嵌入到一个贝利均衡中，该均衡中包含了在多大程度上不信任其收入过程方面存在差异的连续统代理人。
只要每个代理人的一对 \((\sigma_i,\beta_i)\) 位于观测等价轨迹 (88.4) 上，每个代理人就都会选择基准消费规则。
均衡利率 \(R = \beta^{-1}\)、总量动态以及消费横截面方差的线性增长，都完全不变地继承自 不完全市场与完全市场下的消费平滑 中标准的贝利模型。
这是一个很强的不可识别性结果。
数量数据能够确定决策规则，但无法将其分解为不耐心程度和对模型误设的担忧程度。
这些代理人不共有的是他们对世界的看法：每个稳健类型的行为就好像其消费即将以自己的速率 \(\zeta_i\) 偏离极乐点一样。
有两条途径可以摆脱这种观测等价性。
一是关注资产价格，资产价格确实能够区分 \((\sigma,\hat\beta)\) 对，这一点在 稳健永久收入与定价 中有所研究。
另一条是利用 稳健消费平滑与预防性储蓄 中的检测误差概率，从统计上界定 \(\sigma\) 的合理范围。
88.9. 练习#
练习 88.1
本练习要求你完成从基准贝利经济到 HST 记号的转换。
将稳健控制设定特殊化为无习惯、无资本的 LQ 贝利环境，即 \(\lambda = \delta_h = 0\) 且 \(k_t = 0\)，并令禀赋遵循双因子模型。
解答 练习 88.1
以下是一种解法。
根据预算法则 \(a_{t+1} = R(a_t + y_t - c_t)\)，\(y_t = \check G z_t\) 以及 \(z_{t+1} = \check A z_t + \check C w_{t+1}\)，堆叠可得
\(B\) 的符号为负，因为更高的 \(c_t\) 会减少资产积累。
在 \(\sigma = 0\) 时，最小化代理人不存在，扭曲项从贝尔曼方程中消失，目标函数为 \(\mathbb{E}_0\sum \beta^t[-(c_t-b)^2]\)，受限于线性运动规律。
这正是 LQ 永久收入问题。
在 \(\lambda = \delta_h = 0\) 且极乐点为常数时，\(\mu_{st} = b - c_t\)，最优规则为
因此除常数外，\(M_s = -(1-\beta)\begin{pmatrix}1 & \check G(I-\beta\check A)^{-1}\end{pmatrix}\)。
由于 \(C = [0;\ \check C]\)，\(M_s\) 的第一列被消去，
因此 \(\alpha^2 = \nu^\top\nu = hh^\top = \eta_1^2 + (1-\beta)^2\eta_2^2\)，与 (88.3) 一致。
负号无关紧要，因为只有 \(\alpha^2\) 会出现。
练习 88.2
本练习将逐步推导 命题 88.1 中的均衡逻辑。
固定一个基准对 \((\beta, \sigma = 0)\)，令 \(R = \beta^{-1}\)，并令单位区间内的消费者由 \(i\) 标示，类型为 \(\sigma_i \in (\underline\sigma, 0]\)，贴现因子为来自 (88.4) 的 \(\beta_i = \hat\beta(\sigma_i)\)。
使用 稳健消费平滑与预防性储蓄 中的 定理 87.1 证明每种类型与基准 \((\beta, 0)\) 代理人具有相同的消费规则。
证明商品市场和债券市场出清意味着与标准贝利模型相同的均衡利率 \(R = \beta^{-1}\)，无论类型的分布如何。
解释为什么代理人在数量上可以观测等价，但持有不同的最坏情形主观模型。
假设代理人具有共同的 \(\beta\)，但在 \(\sigma_i\) 上有所不同，即它们不位于该轨迹上。解释为什么在这种情况下 \(R = \beta^{-1}\) 通常无法使债券市场出清。
解答 练习 88.2
以下是一种解法。
定理 87.1 表明，如果 \((\sigma_i,\beta_i)\) 满足 \(\beta_i = \beta + \sigma_i\alpha^2\beta/(1-\beta)\)，则类型 \(i\) 选择的决策规则与基准代理人相同，因此所有类型共享策略函数 \(c_t = \mathcal{C}(a_t, z_t)\)。
由于所有个体规则都与基准规则一致，对 \(i\) 进行加总便重现了基准的市场出清条件，而该条件在 \(R = \beta^{-1}\) 处成立。
类型分布从未介入其中，因此不会影响均衡利率。
观测等价性是关于由最优规则生成的数量的一种表述。
最小化反馈 \(K(\sigma_i,\beta_i)\) 在不同类型之间仍然存在差异，因此各代理人在做出相同选择的同时，对相同的冲击过程赋予了不同的最坏情形条件均值。
在轨迹之外，不耐心的抵消作用就消失了。
一个具有 \(\sigma_i < 0\) 且贴现因子为 \(\beta\) 的代理人具有未被抵消的预防性动机，因此在 \(R = \beta^{-1}\) 时它想要比基准代理人储蓄更多。
在总体上对债券存在正的净需求的情况下，均衡利率必须降至 \(\beta^{-1}\) 以下才能使市场出清，此时均衡就依赖于整个类型分布。
练习 88.3
本练习针对两个个体代理人，将数量与信念区分开来。
考虑代理人 \(a\) 和 \(b\)，其中 \(\sigma^a < \sigma^b \leq 0\)，二者都位于轨迹 (88.4) 上。
证明这两个代理人具有相同的消费创新 \(h\,w_{t+1}\)。
证明如果它们从相同的 \((a_t, z_t)\) 出发，并观测到相同的冲击 \(w_{t+1}\)，则它们下一期的消费和资产是一致的。
利用 (88.9)，计算两个代理人关于 \(b - c_{t+h}\) 的最坏情形预测之比，并证明其随 \(h\) 呈几何增长。
总结仅凭数量数据能够识别什么，不能识别什么。
解答 练习 88.3
以下是一种解法。
在共同的状态和共同的冲击下，两个代理人都采用相同的策略函数和相同的运动规律，因此 \(c_{t+1}^a = c_{t+1}^b\) 且 \(a_{t+1}^a = a_{t+1}^b\)。
由 (88.9) 可知，\(\hat{\mathbb{E}}_t (b - c_{t+h}^j) = \zeta_j^{\,h}(b-c_t)\)，因此比值为 \((\zeta_a/\zeta_b)^h\)。
由于 \(\sigma^a < \sigma^b\) 意味着 \(\zeta_a > \zeta_b\)，该比值呈几何增长：随着期限的延长，这两个代理人的信念会无限发散，尽管它们的行为从未有任何不同。
数量数据可以确定均衡决策规则，从而确定出现在其中的参数的单一组合。
它们无法沿着该轨迹将这一规则分解为不耐心 \(\beta_i\) 和稳健性 \(\sigma_i\)。
练习 88.4
本练习探讨在统计上有多少信念异质性是合理的。
将关注范围限制在其最坏情形模型在 \(T = 40\) 的样本中检测误差概率至少为 \(0.25\) 的类型上。
通过二分法找到最稳健的可行类型 \(\sigma^{\min}\)。
对于该类型，报告 \(\beta_i\)、\(\zeta_i\)，以及使其对 \(b - c_{t+h}\) 的最坏情形预测达到近似模型预测两倍的期限 \(h\)。
将第 1 部分中的 \(T\) 改为 \(160\) 重复计算，并评述更长样本对信念异质性合理程度的影响。
解答 练习 88.4
以下是一种解法。
近似模型对每个 \(h\) 都预测 \(b - c_{t+h} = b - c_t\)，而最坏情形预测为 \(\zeta_i^h(b-c_t)\)，因此加倍期限满足 \(\zeta_i^h = 2\)。
def σ_for_target_dep(target, T, β, α2, tol=1e-5):
"""
Find σ ∈ (σ̲, 0) with DEP(σ) = target by bisection.
Returns None if the DEP never falls to the target on the admissible
range, in which case the breakdown point is the binding constraint.
"""
α_loc = np.sqrt(α2)
lo, hi = 0.999 * (-(1 - β)**2 / α2), 0.0
def dep_at(σ):
return detection_error_probability(
worst_case_persistence(σ, β, α2), α_loc, T=T)
if dep_at(lo) > target:
return None
while hi - lo > tol:
mid = 0.5 * (lo + hi)
if dep_at(mid) < target:
lo = mid
else:
hi = mid
return 0.5 * (lo + hi)
for T in [40, 160]:
σ_min = σ_for_target_dep(0.25, T, β, α2)
if σ_min is None:
σ_min = 0.999 * σ_lo # breakdown binds before detectability
note = ' (breakdown point binds)'
else:
note = ''
ζ_min = worst_case_persistence(σ_min, β, α2)
print(f"T = {T:>3}: σ_min = {σ_min:.5f} β_i = {β / ζ_min:.5f} "
f"ζ_i = {ζ_min:.5f} doubling horizon = "
f"{np.log(2) / np.log(ζ_min):.1f} quarters{note}")
T = 40: σ_min = -0.09313 β_i = 0.90979 ζ_i = 1.04420 doubling horizon = 16.0 quarters
T = 160: σ_min = -0.02322 β_i = 0.93997 ζ_i = 1.01067 doubling horizon = 65.3 quarters
在 \(T = 40\) 时，统计可检测性先于崩溃点成为约束，因此最稳健的合理类型是一个内部解。
在 \(T = 160\) 时，这一约束更早地起作用，合理类型集合急剧向 \(\sigma = 0\) 收缩。
加倍期限相应地延长了：随着数据的增多，只有那些悲观情绪累积缓慢的代理人在统计上仍然可信。
备注
检测误差概率是通过模拟估计得到的，因此当目标值接近 \(\underline\sigma\) 处所达到的值时，结果会对随机种子较为敏感。
在 \(T = 40\) 时，崩溃点处的检测误差概率几乎恰好为 \(0.2\)，这正是此处将目标值设为 \(0.25\) 的原因。
88.10. 相关讲座#
LQ 永久收入模型 阐述了标准的 LQ 永久收入模型。
不完全市场与完全市场下的消费平滑 构建了基准贝利经济，其均衡在本讲座中得到重现。
稳健消费平滑与预防性储蓄 推导了本讲座中使用的观测等价定理、崩溃点和检测误差概率。
稳健永久收入与定价 展示了资产价格如何打破观测等价性。