113. 理性预期均衡 #

“如果你真的那么聪明，为什么不富有？”

除了Anaconda自带的库外，本讲义还需要以下库：

!pip install quantecon

113.1. 概述 #

本讲义介绍理性预期均衡的概念。

为加以说明，我们描述了一个由Lucas和Prescott提出的线性二次模型的版本[Lucas and Prescott, 1971]。

这篇1971年的论文是引发理性预期革命的少数几篇研究文章之一。

我们遵循Lucas和Prescott的思路，采用一个易于”贝尔曼化”的设置（即，可以被表述为动态规划问题）。

由于我们对需求和成本均使用线性二次形式，我们可以运用另一篇讲义中描述的LQ规划技术。

我们将学习代表性个体问题与计划者问题的差异，以及如何通过计划问题来求得理性预期均衡中的数量与价格。

我们还将学习如何将理性预期均衡表示为从感知的动态规律到实际的动态规律的映射的不动点。

当市场内生变量的感知动态规律与实际动态规律相等时，即构成理性预期均衡的核心思想。

最后，我们将学习宏观经济学中常用的重要建模技巧：“大 \(K\)，小 \(k\)” 技巧。

在本讲义中：

“大 \(K\)” 将变成 “大 \(Y\)”
“小 \(k\)” 将变成 “小 \(y\)”

让我们从一些标准导入开始：

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"
mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)
plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']

plt.rcParams["figure.figsize"] = (11, 5)  #设置默认图片尺寸
import numpy as np

我们还将使用QuantEcon.py中的LQ类。

from quantecon import LQ

113.1.1. 大 Y，小 y 技巧#

这种广泛使用的方法适用于代表性企业或经济主体在竞争均衡中作为”价格接受者”的情况。

以下设定为引入代表性企业的概念提供了合理性：该企业可代表大量相同的其他企业。

假设存在一个由同质企业组成的连续体，其测度为 1，企业的索引记为 \(\omega \in \Omega = [0,1]\)。

企业 \(\omega\) 的产出为 \(y(\omega)\)。

所有企业的总产出为 \(Y = \int_{0}^1 y(\omega) d \, \omega \)。

所有企业最终都选择生产相同的产出，因此最终 \( y(\omega) = y\) 且 \(Y =y = \int_{0}^1 y(\omega) d \, \omega \)。

这种设定使我们可以讨论选择生产 \(y\) 的代表性企业。

我们要求：

当代表性企业或个体企业选择自身产出 \(y(\omega)\) 时，总量 \(Y\) 被视为给定，但是
最终，\(Y = y(\omega) = y\)，以确保代表性企业确实具有代表性。

“大 \(Y\)，小 \(y\)” 技巧可以通过以下两点实现上述目标：

在设定选择 \(y\) 的决策问题时，将 \(Y\) 视为外生给定的；但是
在解决个体最优化问题之后，强制执行 \(Y = y\)。

随着讲义展开，请注意这一策略如何被应用。

我们首先在一个非常简单的静态环境中应用 “大 \(Y\)，小 \(y\)” 技巧。

113.1.1.1. 大 Y，小 y 技巧的简单静态示例#

考虑一个静态模型：存在单位测度的企业群体，在竞争性市场中生产并销售同质产品。

这些企业最终都生产和销售 \(y(\omega) = y\)。

商品价格 \(p\) 服从以下反需求曲线

(113.1)#\[p = a_0 - a_1 Y\]

其中

\(a_i > 0\)，对于 \(i = 0, 1\)
\(Y = \int_0^1 y(\omega) d \omega\) 是市场总产出水平

为了方便起见，当我们描述单个企业 \(\omega \in \Omega\) 的选择问题时，我们通常直接写 \(y\) 而非 \(y(\omega)\)。

每个企业都有一个总成本函数

\[ c(y) = c_1 y + 0.5 c_2 y^2, \qquad c_i > 0 \text{ for } i = 1,2 \]

一个代表性企业的利润是 \(p y - c(y)\)。

使用(113.1)，我们可以将代表性企业的问题表示为

(113.2)#\[\max_{y} \Bigl[ (a_0 - a_1 Y) y - c_1 y - 0.5 c_2 y^2 \Bigr]\]

在提出问题(113.2)时，我们希望企业是一个价格接受者。

我们通过将 \(p\) 以及因此而来的 \(Y\) 视为企业的外生变量来实现这一点。

“大 \(Y\)，小 \(y\)” 技巧的核心是：在对问题(113.2)中的 \(y\) 求一阶条件之前，不设定 \(Y = y\)。

这确保了企业是一个价格接受者。

问题(113.2)的一阶条件是

(113.3)#\[a_0 - a_1 Y - c_1 - c_2 y = 0\]

此时（而不是在此之前），我们将 \(Y = y\) 代入 (113.3) 得到以下线性方程

(113.4)#\[a_0 - c_1 - (a_1 + c_2) Y = 0\]

该式可用于求解竞争均衡市场总产出 \(Y\)。

在求解出 \(Y\) 后，我们可以从反需求曲线 (113.1) 计算出竞争均衡价格 \(p\)。

113.1.2. 相关的规划问题#

定义消费者剩余为反需求曲线下的面积：

\[ S_c (Y)= \int_0^Y (a_0 - a_1 s) ds = a_o Y - \frac{a_1}{2} Y^2 . \]

定义生产的社会成本为

\[ S_p (Y) = c_1 Y + \frac{c_2}{2} Y^2 \]

考虑规划问题

\[ \max_{Y} [ S_c(Y) - S_p(Y) ] \]

规划问题的一阶必要条件是方程 (113.4)。

因此，满足 (113.4) 的 \(Y\) 既是竞争均衡产出，也是解决规划问题的产出。

这种结果为竞争均衡提供了理论依据。

113.1.3. 延伸阅读#

本讲义的参考文献包括

113.2. 理性预期均衡 #

我们首次对理性预期均衡的说明，考虑一个由连续体同质企业组成的市场。每个企业都在存在调整成本的情况下，最大化自身利润的贴现现值。

调整成本使企业不得不进行渐进式调整，从而在决策时必须考虑未来价格的变化。

各个企业都明白，通过反向需求曲线，价格是由其他企业的供应量决定的。

因此，每个企业都想要预测未来的行业总产出。

在我们的设定中，这种预测是通过对总体状态动态规律的信念产生的。

当这种信念与由该信念引导的生产决策所产生的实际动态规律相一致时，就形成了理性预期均衡。

我们将理性预期均衡表述为一个算子的不动点，该算子将信念映射为最优信念。

113.2.1. 带调整成本的竞争均衡#

为了说明这一点，考虑一个包含 \(n\) 个企业的市场，这些企业生产并销售一种同质产品。

每个企业销售产出 \(y_t(\omega) = y_t\)。

商品价格 \(p_t\) 服从反需求曲线

(113.5)#\[p_t = a_0 - a_1 Y_t\]

其中

\(a_i > 0\) 对于 \(i = 0, 1\)
\(Y_t = \int_0^1 y_t(\omega) d \omega = y_t\) 是市场整体产出水平

113.2.1.1. 企业的问题#

每个企业都是价格接受者。

虽然它不面临不确定性，但确实面临调整成本。

具体来说，它选择一个生产计划来最大化

(113.6)#\[\sum_{t=0}^\infty \beta^t r_t\]

其中

(113.7)#\[r_t := p_t y_t - \frac{ \gamma (y_{t+1} - y_t )^2 }{2}, \qquad y_0 \text{ 给定}\]

关于参数，

\(\beta \in (0,1)\) 是折现因子
\(\gamma > 0\) 衡量产出率调整的成本

关于时间安排，企业在 \(t\) 时刻观察到 \(p_t\) 和 \(y_t\)，再选择 \(y_{t+1}\)。

要完整地描述企业的优化问题，我们需要明确所有状态变量的动态变化。

这包括企业关心但无法控制的变量，如 \(p_t\)。

我们现在来处理这个问题。

113.2.1.2. 价格和总产出#

根据 (113.5)，企业预测市场价格的动机转化为预测总产出 \(Y_t\) 的动机。

总产出取决于其他企业的选择。

单个企业 \(\omega\) 的产出 \(y_t(\omega)\) 对总产出 \(\int_0^1 y_t(\omega) d \omega\) 的影响可以忽略不计。

这使得企业有理由认为它们对总产出的预测不会受到自身产出决策的影响。

113.2.1.3. 代表性企业的信念#

我们假设企业认为市场总产出 \(Y_t\) 遵循如下运动规律

(113.8)#\[Y_{t+1} = H(Y_t)\]

其中 \(Y_0\) 是已知的初始条件。

信念函数 \(H\) 是一个均衡对象，因此还有待确定。

因此，在此阶段，\(Y_{t+1}\) 仅表示下一期的感知产出 \(Y^e_{t+1}\)。

113.2.1.4. 给定信念下的最优行为#

现在，让我们先固定(113.8)中的特定信念 \(H\)，并研究企业对它的反应。

设 \(v\) 是给定 \(H\) 时企业问题的最优价值函数。

价值函数满足贝尔曼方程

(113.9)#\[v(y,Y) = \max_{y'} \left\{ a_0 y - a_1 y Y - \frac{ \gamma (y' - y)^2}{2} + \beta v(y', H(Y))\right\}\]

让我们用 \(h\) 表示企业的最优策略函数，因此

(113.10)#\[y_{t+1} = h(y_t, Y_t)\]

其中

(113.11)#\[h(y, Y) := \textrm{argmax}_{y'} \left\{ a_0 y - a_1 y Y - \frac{ \gamma (y' - y)^2}{2} + \beta v(y', H(Y))\right\}\]

显然 \(v\) 和 \(h\) 都依赖于 \(H\)。

113.2.1.5. 使用一阶必要条件的特征化#

在接下来的内容中，基于一阶条件对 \(h\) 进行第二次特征化将会很有帮助。

选择 \(y'\) 的一阶必要条件是

(113.12)#\[-\gamma (y' - y) + \beta v_y(y', H(Y) ) = 0\]

Benveniste-Scheinkman [Benveniste and Scheinkman, 1979]的一个重要且有用的包络定理表明，要对 \(v\) 关于 \(y\) 求导，我们可以直接对(113.9)右侧进行求导，得到

\[ v_y(y,Y) = a_0 - a_1 Y + \gamma (y' - y) \]

同理，可得 \(v_y(y', H(Y)) = a_0 - a_1 H(Y) +\gamma (y'' - y')\)

将此方程代入 (113.12) 得到欧拉方程

(113.13)#\[-\gamma (y_{t+1} - y_t) + \beta [a_0 - a_1 H(Y_t) + \gamma (y_{t+2} - y_{t+1} )] =0\]

企业最优地选择一条满足(113.13) 的产出路径，在给定(113.8) 的情况下，并受到以下条件的约束：

初始条件 \((y_0, Y_0)\)，
终端条件 \(\lim_{t \rightarrow \infty } \beta^t y_t v_y(y_{t}, Y_t) = 0\)。

最后这个条件被称为横截条件，其作用相当于”无穷远处”的一阶必要条件。

代表性企业的决策规则需在给定初始条件 \(y_0\) 和横截条件下，求解差分方程 (113.13)。

注意，求解贝尔曼方程 (113.9) 得到 \(v\)，然后在 (113.11) 中求解 \(h\)，即可自动满足欧拉方程 (113.13) 和横截条件。

113.2.1.6. 产出的实际动态规律#

如前所述，给定的信念会转化为特定的决策规则 \(h\)。

回想一下，在均衡中，由于 \(Y_t = y_t\)，市场整体产出的实际动态规律为

(113.14)#\[Y_{t+1} = h(Y_t, Y_t)\]

因此，当企业相信市场整体产出的动态规律是(113.8)时，它们的优化行为会使得实际动态规律变为(113.14)。

113.2.2. 理性预期均衡的定义#

定义 113.1

在带调整成本的模型中，理性预期均衡或递归竞争均衡是一对决策规则 \(h\) 和总体动态规律 \(H\)，使得：

在给定信念 \(H\) 的情况下，映射 \(h\) 是企业的最优政策函数。
运动规律 \(H\) 满足对所有 \(Y\) 都有 \(H(Y)= h(Y,Y)\)。

因此，理性预期均衡是感知的动态规律(113.8)和实际的动态规律(113.14)相一致。

113.2.2.1. 不动点表征#

正如我们所见，企业的最优化问题产生了一个映射 \(\Phi\)，它将市场总产出的感知动态规律 \(H\)映射到实际动态规律 \(\Phi(H)\)。

映射 \(\Phi\) 是两个映射的组合，第一个映射通过(113.9)–(113.11)将感知动态规律映射到决策规则，第二个映射通过(113.14)将决策规则映射到实际动态规律。

理性预期均衡的 \(H\) 分量是 \(\Phi\) 的一个不动点。

113.3. 计算均衡 #

现在让我们来计算一个理性预期均衡。

113.3.1. 收缩性的失效#

熟悉动态规划论证的读者可能会尝试通过选择某个总体动态规律的初始猜测值 \(H_0\)，然后对 \(\Phi\) 进行迭代来解决这个问题。

不幸的是，映射 \(\Phi\) 并不是一个压缩映射。

事实上，对 \(\Phi\) 的直接迭代并不能保证收敛[1]。

有些情况下，这些迭代会发散。

为了直观地理解这一点，考虑布莱克维尔的充分条件，并假设存在两个信念，对于所有 \(Y\) 都满足 \(H_a(Y) > H_b(Y)\)。

根据欧拉方程 (113.13)，实际动态规律 \(Y_{t+1} = h(Y_t, Y_t)\) 随 \(H\) 的增大而减小，因此 \(\Phi\) 会颠倒信念的排序。

因此，布莱克维尔条件所要求的单调性不成立。

幸运的是，这里还有另一种可行的方法。

该方法利用了福利经济学基本定理中所表达的均衡与帕累托最优之间的联系（参见 [Mas-Colell et al., 1995]）。

Lucas 和 Prescott [Lucas and Prescott, 1971] 使用这种方法构建了理性预期均衡。

以下是一些细节。

113.3.2. 规划问题方法#

我们的解决思路是将市场问题的欧拉方程与单个个体选择问题的欧拉方程相匹配。

正如我们将看到的，这个规划问题可以通过LQ控制（线性调节器）来解决。

规划问题的最优产出量就是理性预期均衡的产出量。

理性预期均衡价格可以解释为规划问题中的影子价格。

我们首先计算时间 \(t\) 的消费者和生产者剩余之和

(113.15)#\[s(Y_t, Y_{t+1}) := \int_0^{Y_t} (a_0 - a_1 x) \, dx - \frac{ \gamma (Y_{t+1} - Y_t)^2}{2}\]

第一项是需求曲线下的面积，而第二项衡量的是产出变化的社会成本。

规划问题是选择一个生产计划 \(\{Y_t\}\) 来最大化

\[ \sum_{t=0}^\infty \beta^t s(Y_t, Y_{t+1}) \]

同时满足 \(Y_0\) 的初始条件。

113.3.3. 规划问题的求解#

计算 (113.15) 中的积分得到二次形式 \(a_0 Y_t - a_1 Y_t^2 / 2\)。

因此，规划问题的贝尔曼方程为

(113.16)#\[V(Y) = \max_{Y'} \left\{a_0 Y - {a_1 \over 2} Y^2 - \frac{ \gamma (Y' - Y)^2}{2} + \beta V(Y') \right\}\]

113.3.4. 关键洞见#

回到方程 (113.13)，并令 \(y_t = Y_t\) 对所有 \(t\) 成立。

在理性预期均衡中，感知的动态规律与实际的动态规律是一致的，因此 \(H(Y_t) = Y_{t+1}\)。

将这一点与 \(y_t = Y_t\) 结合起来，通过一些简单的代数运算，你会发现方程 (113.18) 和 (113.13) 是完全相同的。

因此，规划问题的欧拉方程与我们通过以下方式得到的二阶差分方程一致：

找到代表性企业的欧拉方程，并且
代入 \(Y_t = y_t\) 以确保代表性企业确实代表整个行业。

如果对这两个差分方程应用相同的终端条件（事实也确实如此），那么我们就验证了规划问题的解也是理性预期均衡的产出序列。

因此，对于这个例子，我们可以通过构建与贝尔曼方程 (113.16) 相应的最优线性调节器问题来计算均衡产出量。

该规划问题的最优策略函数就是代表性企业在理性预期均衡中面临的总体动态规律 \(H\)。

113.3.4.1. 动态规律的结构#

正如练习中要求证明的，规划者问题是LQ控制问题这一事实意味着最优策略，亦即总体动态规律，具有如下形式

(113.19)#\[Y_{t+1} = \kappa_0 + \kappa_1 Y_t\]

其中 \(\kappa_0, \kappa_1\) 为某个参数对。

现在我们知道总体动态规律是线性的，从企业的贝尔曼方程 (113.9) 可以看出，企业的问题也可以被构建为一个LQ问题。

如习题所示，企业问题的LQ形式意味着动态规律具有如下形式：

(113.20)#\[y_{t+1} = h_0 + h_1 y_t + h_2 Y_t\]

因此，理性预期均衡将由 (113.19)–(113.20) 中的参数 \((\kappa_0, \kappa_1, h_0, h_1, h_2)\) 来定义。

113.4. 练习 #

练习 113.1

考虑上述企业问题。

假设企业的信念函数 \(H\) 如(113.19)所示。

将企业的问题表述为一个贴现最优线性调节器问题，注意要详细描述所需的所有对象。

使用QuantEcon.py包中的LQ类来解决以下参数值的企业问题：

\[ a_0= 100, a_1= 0.05, \beta = 0.95, \gamma=10, \kappa_0 = 95.5, \kappa_1 = 0.95 \]

将企业问题的解以(113.20)的形式表示，并给出每个 \(h_j\) 的值。

若存在一个由相同企业组成的连续体，每个企业均按照(113.20)行事，那么(113.20)对于市场供给的实际动态规律(113.8)意味着什么？

解答练习 113.1

要将问题映射到折现最优线性控制问题中，我们需要定义

状态向量 \(x_t\) 和控制向量 \(u_t\)
定义偏好和状态动态规律的矩阵 \(A, B, Q, R\)

对于状态和控制向量，我们选择

\[\begin{split} x_t = \begin{bmatrix} y_t \\ Y_t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad u_t = y_{t+1} - y_{t} \end{split}\]

对于 \(B, Q, R\)，我们设定

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \kappa_1 & \kappa_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad R = \begin{bmatrix} 0 & a_1/2 & -a_0/2 \\ a_1/2 & 0 & 0 \\ -a_0/2 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad Q = \gamma / 2 \end{split}\]

通过展开可以确认

\(x_t' R x_t + u_t' Q u_t = - r_t\)
\(x_{t+1} = A x_t + B u_t\)

我们将使用模块 lqcontrol.py 来解决在给定参数值下的企业问题。

这将返回一个LQ策略 \(F\)，其解释为 \(u_t = - F x_t\)，或

\[ y_{t+1} - y_t = - F_0 y_t - F_1 Y_t - F_2 \]

将参数与 \(y_{t+1} = h_0 + h_1 y_t + h_2 Y_t\) 对应，得到

\[ h_0 = -F_2, \quad h_1 = 1 - F_0, \quad h_2 = -F_1 \]

参考代码：

# 模型参数

a0 = 100
a1 = 0.05
β = 0.95
γ = 10.0

# 信念

κ0 = 95.5
κ1 = 0.95

# 构建 LQ 问题

A = np.array([[1, 0, 0], [0, κ1, κ0], [0, 0, 1]])
B = np.array([1, 0, 0])
B.shape = 3, 1
R = np.array([[0, a1/2, -a0/2], [a1/2, 0, 0], [-a0/2, 0, 0]])
Q = 0.5 * γ

# 求解最优策略

lq = LQ(Q, R, A, B, beta=β)
P, F, d = lq.stationary_values()
F = F.flatten()
out1 = f"F = [{F[0]:.3f}, {F[1]:.3f}, {F[2]:.3f}]"
h0, h1, h2 = -F[2], 1 - F[0], -F[1]
out2 = f"(h0, h1, h2) = ({h0:.3f}, {h1:.3f}, {h2:.3f})"

print(out1)
print(out2)

F = [-0.000, 0.046, -96.949]
(h0, h1, h2) = (96.949, 1.000, -0.046)

这意味着

\[ y_{t+1} = 96.949 + y_t - 0.046 \, Y_t \]

对于 \(n > 1\) 的情况，回想一下 \(Y_t = n y_t\)，将其与前面的方程结合，得到

\[ Y_{t+1} = n \left( 96.949 + y_t - 0.046 \, Y_t \right) = n 96.949 + (1 - n 0.046) Y_t \]

对于连续体企业的情况，

\[\begin{split} \begin{aligned} \int_0^1 y_{t+1}(\omega)\, d\omega &= h_0 + h_1 \int_0^1 y_{t}(\omega)\, d\omega + h_2 Y_t \\ Y_{t+1} &= h_0 + h_1 Y_t + h_2 Y_t \\ Y_{t+1} &= 96.949 + (1 - 0.046) Y_t \end{aligned} \end{split}\]

练习 113.2

考虑以下 \(\kappa_0, \kappa_1\) 对作为理性预期均衡中总体动态规律组成部分的候选（参见(113.19)）。

扩展练习 113.1中的程序，确定哪些（如果有的话）满足理性预期均衡的定义

(94.0886298678, 0.923409232937)
(93.2119845412, 0.984323478873)
(95.0818452486, 0.952459076301)

描述一个迭代算法，用练习 113.1中的程序来计算理性预期均衡。

（你不需要实际使用你所建议的算法）

解答练习 113.2

要确定一对 \(\kappa_0, \kappa_1\) 是否构成理性预期均衡的总量动态规律组成部分，我们可以按以下步骤进行：

确定相应的企业动态规律 \(y_{t+1} = h_0 + h_1 y_t + h_2 Y_t\)。
检验相关的总量动态规律 \(Y_{t+1} = n h(Y_t/n, Y_t)\) 是否等价于 \(Y_{t+1} = \kappa_0 + \kappa_1 Y_t\)。

在第二步中，我们可以使用 \(Y_t = n y_t = y_t\)，因此 \(Y_{t+1} = n h(Y_t/n, Y_t)\) 变为

\[ Y_{t+1} = h(Y_t, Y_t) = h_0 + (h_1 + h_2) Y_t \]

因此要检验第二步，我们可以检验 \(\kappa_0 = h_0\) 和 \(\kappa_1 = h_1 + h_2\)。

以下代码实现了这个检验

candidates = ((94.0886298678, 0.923409232937),
              (93.2119845412, 0.984323478873),
              (95.0818452486, 0.952459076301))

for κ0, κ1 in candidates:

    # 构建相关的运动规律
    A = np.array([[1, 0, 0], [0, κ1, κ0], [0, 0, 1]])

    # 求解企业的LQ问题
    lq = LQ(Q, R, A, B, beta=β)
    P, F, d = lq.stationary_values()
    F = F.flatten()
    h0, h1, h2 = -F[2], 1 - F[0], -F[1]

    # 检验均衡条件
    if np.allclose((κ0, κ1), (h0, h1 + h2)):
        print(f'均衡对 = {κ0}, {κ1}')
        print('f(h0, h1, h2) = {h0}, {h1}, {h2}')
        break

均衡对 = 95.0818452486, 0.952459076301
f(h0, h1, h2) = {h0}, {h1}, {h2}

结果告诉我们答案是第(iii)组，这意味着 \((h_0, h_1, h_2) = (95.0819, 1.0000, -.0475)\)。

（注意我们使用np.allclose来测试浮点数的相等性，因为精确相等要求太严格）。

关于迭代算法，可以从给定的 \((\kappa_0, \kappa_1)\) 对循环到相关的企业规律，然后再到新的 \((\kappa_0, \kappa_1)\) 对。

这相当于实现了讲义中描述的算子 \(\Phi\)。

（一般来说，无法保证这个迭代过程一定会收敛到理性预期均衡）

练习 113.3

回顾上述规划问题

将规划问题表述为LQ问题。
使用练习1中相同的参数值求解
- \(a_0= 100, a_1= 0.05, \beta = 0.95, \gamma=10\)
将解表示为 \(Y_{t+1} = \kappa_0 + \kappa_1 Y_t\) 的形式。
将你的答案与练习2的结果进行比较。

解答练习 113.3

我们需要将规划问题写成LQ问题。

对于状态和控制向量，我们选择

\[\begin{split} x_t = \begin{bmatrix} Y_t \\ 1 \end{bmatrix}, \quad u_t = Y_{t+1} - Y_{t} \end{split}\]

对于LQ矩阵，我们设置

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad R = \begin{bmatrix} a_1/2 & -a_0/2 \\ -a_0/2 & 0 \end{bmatrix}, \quad Q = \gamma / 2 \end{split}\]

通过展开计算可以确认

\(x_t' R x_t + u_t' Q u_t = - s(Y_t, Y_{t+1})\)
\(x_{t+1} = A x_t + B u_t\)

通过获得最优策略并使用 \(u_t = - F x_t\) 或

\[ Y_{t+1} - Y_t = -F_0 Y_t - F_1 \]

我们可以通过 \(\kappa_0 = -F_1\) 和 \(\kappa_1 = 1-F_0\) 得到隐含的总量动态规律。

解决此问题的Python代码如下：

# 构建规划者的LQ问题

A = np.array([[1, 0], [0, 1]])
B = np.array([[1], [0]])
R = np.array([[a1 / 2, -a0 / 2], [-a0 / 2, 0]])
Q = γ / 2

# 求解最优策略

lq = LQ(Q, R, A, B, beta=β)
P, F, d = lq.stationary_values()

# 打印结果

F = F.flatten()
κ0, κ1 = -F[1], 1 - F[0]
print(κ0, κ1)

95.08187459214751 0.952459062703923

返回的 \((\kappa_0, \kappa_1)\) 对与上一个练习中得到的均衡结果相同。

练习 113.4

一个垄断者面对产业需求曲线(113.5)，并选择 \(\{Y_t\}\) 来最大化 \(\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t r_t\)，其中

\[ r_t = p_t Y_t - \frac{\gamma (Y_{t+1} - Y_t)^2 }{2} \]

将此问题表述为LQ问题。

使用与练习 113.2相同的参数计算最优策略。

特别地，求解以下方程中的参数：

\[ Y_{t+1} = m_0 + m_1 Y_t \]

将你的结果与练习 113.2进行比较并评论。

解答练习 113.4

垄断者的LQ问题与前一个练习中的规划者问题几乎相同，除了

\[\begin{split} R = \begin{bmatrix} a_1 & -a_0/2 \\ -a_0/2 & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

问题可以按如下方式求解：

A = np.array([[1, 0], [0, 1]])
B = np.array([[1], [0]])
R = np.array([[a1, -a0 / 2], [-a0 / 2, 0]])
Q = γ / 2

lq = LQ(Q, R, A, B, beta=β)
P, F, d = lq.stationary_values()

F = F.flatten()
m0, m1 = -F[1], 1 - F[0]
print(m0, m1)

73.4729440350286 0.9265270559649703

我们看到垄断者的动态规律大约为 \(Y_{t+1} = 73.4729 + 0.9265 Y_t\)。

在理性预期的情况下，动态规律大约为 \(Y_{t+1} = 95.0818 + 0.9525 Y_t\)。

比较这两个动态规律的一种方法是通过它们的不动点，这些不动点给出了每种情况下的长期均衡产出。

对于形如 \(Y_{t+1} = c_0 + c_1 Y_t\) 的规律，不动点为 \(c_0 / (1 - c_1)\)。

如果你计算这些数字，你会发现垄断者采用的长期产量比竞争市场获得的要低，这意味着更高的市场价格。

这与基础静态情况的结果类似