98. 可信的政府政策#

98.1. 概览#

信誉问题 让政府陷入了一个陷阱。

如果没有承诺自身行为的技术手段，一个每期都重新优化的政府最终会落入纳什结果，以 \(\theta U^*\) 的速率通货膨胀，却一无所获。

那是一个单期的故事，它招致了一个显而易见的反驳：一个预期明天将再次面对同一公众的政府，是有”声誉”需要维护的。

本讲座遵循 [Sargent, 1999] 第4章的思路，认真对待这一反驳意见。

我们让基德兰德-普雷斯科特经济永远重复，让政府当期的行动依赖于整个结果历史，并追问哪些结果路径可以作为子博弈完美均衡得到支持。

答案并不是反驳意见所预期的那个。

声誉既没有拯救拉姆齐结果，也没有确认纳什结果。

它带来了均衡值的一个连续统，其中一些优于纳什结果，一些则差得多，而模型内部没有任何原则可以在其中做出选择。

这正是本讲座旨在确立的结论，萨金特用一句话表达出来：

我的结论是，可信计划的多重性用不可知论取代了悲观主义。

这对整个系列讲座的论证都很重要。

美国通货膨胀的兴衰 反对自然率理论胜利这一说法的部分理由，正是建立在这一弱点之上：一个具有如此多均衡的理论几乎不能做出任何预测，因此依赖于政策制定者已经学到了正确均衡的故事，实际上是在为理论本身无法完成的工作做辩护。

98.1.1. 我们要构建什么#

所使用的机制是阿布鲁、皮尔斯和斯塔凯蒂 [Abreu, 1988, Abreu et al., 1990] 的递归方法，它计算的不是一个最优值，而是整个均衡值的集合。

普通的动态规划迭代一个将延续值映射为值的算子。

APS 迭代的算子将延续值的集合映射为值的集合，而子博弈完美均衡值的集合正是它的最大不动点。

备注

将一个承诺值作为状态变量，然后在该状态下进行动态规划，这种技巧有时被称为双重动态规划。

这是 QuantEcon 关于 斯塔克尔伯格计划 讲座以及 [Ljungqvist and Sargent, 2018] 中拉姆齐问题递归处理方法的核心思想。

本讲座是一个精简的示例：状态是一个承诺值，我们所计算的对象是一个集合。

接下来我们以三种方式使用这一机制。

我们通过猜测-验证法构造特定的均衡——纳什结果的无限重复、某种更优结果的无限重复，以及阿布鲁的”大棒加胡萝卜”策略，这一策略比纳什结果更差。

我们通过两个小型规划问题计算最优和最差均衡值，并将其与 APS 算子的直接迭代进行核对。

我们还展示了三种截然不同却都达到相同最差值的均衡，这是均衡概念约束力有多弱的最鲜明例证。

备注

萨金特本人给读者的建议值得转达：如果读者之前没有接触过这一理论，本章会显得困难；愿意接受其结论——即可信政策理论带来的是不可知论而非预测——的读者，可以直接跳转到 适应性预期与费尔普斯问题，而不会失去论证的线索。

让我们从导入模块开始：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from typing import NamedTuple

98.2. 重复经济#

单期经济就是 信誉问题 中的那个经济。

令 \((U, y, x)\) 分别为失业率、通货膨胀率和公众对通货膨胀的预期。

失业率遵循预期增广菲利普斯曲线 \(U = U^* - \theta(y - x)\)，将政府的单期收益写成 \((x, y)\) 的函数为

(98.1)#\[r(x, y) = -\frac{1}{2}\left[\bigl(U^* - \theta(y - x)\bigr)^2 + y^2\right].\]

政府对预期 \(x\) 的单期最优反应为

(98.2)#\[B(x) = \frac{\theta\,(U^* + \theta x)}{\theta^2 + 1},\]

纳什结果为 \(y^N = \theta U^*\)，拉姆齐结果为 \(y^R = 0\)。

现在有两点新内容。

第一，经济在 \(t = 1, 2, \ldots\) 不断重复，政府按照下式对结果路径 \((x, y) = \{x_t, y_t\}_{t=1}^\infty\) 排序：

(98.3)#\[V^g(x, y) = (1 - \delta)\sum_{t=1}^{\infty}\delta^{t-1} r(x_t, y_t), \qquad \delta \in (0, 1).\]

因子 \((1-\delta)\) 使 \(V^g\) 与单期收益处于相同的单位，从而使值与单期回报可以直接比较。

第二，通货膨胀被限制在一个有界区间 \(Y = [0, y^\#]\) 内。

下界是拉姆齐结果；上界 \(y^\#\) 使政府的问题变得非平凡，我们在寻找最差均衡时会看到这一点。

class Model(NamedTuple):
    θ: float = 1.25          # slope of the Phillips curve
    U_star: float = 5.5      # natural rate of unemployment
    y_max: float = 10.0      # y^#, the highest admissible inflation rate
    δ: float = 0.95          # discount factor


def r(m, x, y):
    "One-period government payoff when the public expects x and inflation is y."
    U = m.U_star - m.θ * (y - x)
    return -0.5 * (U**2 + y**2)


def B(m, x):
    "The government's one-period best response to expected inflation x."
    return m.θ * (m.U_star + m.θ * x) / (m.θ**2 + 1)


def y_nash(m):
    return m.θ * m.U_star

下面所有的推导都依赖于两个收益方案，两者都是公众已形成预期的单一通货膨胀率 \(y\) 的函数。

第一个是理性预期收益 \(r(y, y)\)：如果政府实现了公众所预期的通货膨胀，它得到的收益。

第二个是背离收益 \(r(y, B(y))\)：如果公众预期为 \(y\)，而政府屈服于诱惑做出最优反应，它得到的收益。

两者都有值得记录的闭合形式，因为它们解释了后面的一切：

(98.4)#\[r(y, y) = -\frac{1}{2}\left(U^{*2} + y^2\right), \qquad r\bigl(y, B(y)\bigr) = -\frac{\left(U^* + \theta y\right)^2}{2\left(1 + \theta^2\right)} .\]
def r_keep(m, y):
    "Payoff from delivering the expected inflation rate: r(y, y)."
    return -0.5 * (m.U_star**2 + y**2)


def r_cheat(m, y):
    "Payoff from best-responding to an expectation of y: r(y, B(y))."
    return -(m.U_star + m.θ * y)**2 / (2 * (1 + m.θ**2))


m = Model()
ys = np.linspace(0, m.y_max, 7)
print("closed forms agree with the definitions:",
      np.allclose(r_keep(m, ys), r(m, ys, ys)),
      np.allclose(r_cheat(m, ys), r(m, ys, B(m, ys))))

closed forms agree with the definitions: True True

两个方案都随 \(y\) 上升而下降，但下降速率不同，且恰好在纳什速率处相交，因为在该处背离的诱惑消失了，\(B(y^N) = y^N\)。

grid = np.linspace(0, m.y_max, 400)
yN = y_nash(m)
v_R, v_N = r_keep(m, 0.0), r_keep(m, yN)
v_lo = r_cheat(m, m.y_max)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5, 5.5))
ax.plot(grid, r_keep(m, grid), 'C0', lw=1.6, label='$r(y, y)$: deliver what is expected')
ax.plot(grid, r_cheat(m, grid), 'C1', lw=1.6, label='$r(y, B(y))$: deviate')
ax.plot(0.0, v_R, 'ko', ms=6)
ax.annotate('$v^R$', (0.0, v_R), textcoords='offset points', xytext=(8, 4))
ax.plot(yN, v_N, 'ko', ms=6)
ax.annotate('$v^N$', (yN, v_N), textcoords='offset points', xytext=(8, 4))
ax.plot(m.y_max, v_lo, 'ko', ms=6)
ax.annotate('$v_{min}$', (m.y_max, v_lo), textcoords='offset points',
            xytext=(-34, 4))
ax.axvline(yN, color='k', lw=0.6, ls=':')
ax.set_xlabel('inflation rate $y$ expected by the public')
ax.set_ylabel('one-period payoff')
ax.set_title('Figure 4.1: the two payoff schedules and the worst equilibrium value')
ax.legend(loc='lower left')
plt.show()
_images/0fc3734c7a0922284ffe9b65f22224317cd1e1c506fea84b6efe5ba38c3a961c.png

图 98.1 两个收益方案：实现预期通货膨胀与背离预期通货膨胀#

两条曲线之间的垂直差距，是政府在通货膨胀率低于预期水平时的单期诱惑大小。

在 \(y^N\) 处该差距为零，随着预期通货膨胀率上升超过纳什速率，差距逐渐扩大——这也是为什么最差均衡最终会落在 \(Y\) 的顶端。

98.3. 递归策略与承诺值#

政府的策略必须能够使今天的行动依赖于整个过去。

携带完整的历史是不可管理的，因此我们效仿 [Sargent, 1999]，将注意力限制在具有递归表示的策略上——这一限制不会带来任何损失，因为它不会排除任何均衡值。

定义 98.1 (递归政府策略)

一个递归政府策略是一对函数 \(\sigma = (\sigma_1, \sigma_2)\)，连同一个初始条件 \(v_1\)，具有以下结构：

\[ v_1 \in \mathbb{R} \text{ given}, \qquad y_t = \sigma_1(v_t), \qquad v_{t+1} = \sigma_2(v_t, x_t, y_t), \]

其中 \(v_t\) 是一个状态变量，用于概括 \(t\) 之前结果的历史。

私人部门的每个成员都知道 \(v_t\) 及策略 \(\sigma\)，因此预测

(98.5)#\[x_t = \sigma_1(v_t) .\]

方程 (98.5) 将理性预期内置到私人部门中：公众在均衡路径上永远不会受到意外。

一个策略 \((\sigma, v_1)\) 生成一整条结果路径，从而通过 (98.3) 生成一个值 \(V^g(\sigma, v_1)\)。

可信政策理论此刻做了一件乍看之下像是把戏的事情。

它通过要求状态变量就是它所生成的值，将过去与未来联系起来，

(98.6)#\[v = V^g(\sigma, v).\]

于是 \(v\) 同时承担两份职责。

在 \(v_{t+1} = \sigma_2(v_t, x_t, y_t)\) 中，它是一个记录已发生事情的记账工具。

在 (98.6) 中，它是一个承诺值——政府在进入这一期时所应得的贴现未来。

以第二种方式来理解，正是使这一机制运作起来的关键：策略给予政府当前和未来的结果，使其希望去做别人对它的预期。

备注

\(\sigma\) 有两种解读，在一个均衡内部，二者是无法区分的。

它既可以是政府所选择的决策规则，也可以是政府所遵循的公众预期体系的描述。

我们会在解释一节回到这一含糊之处，因为正是从这里产生了该理论的不可知论。

98.3.1. 历史渊源#

将可信性形式化是二十世纪八十年代的成就，但对这一思想的精深理解要古老得多。

1784年，财政大臣雅克·内克尔向路易十六解释，为什么一位可以随意拖欠债务的绝对君主发现借款很难 [Sargent and Velde, 1995]：

因此，只有通过对君主意图给予保证，并证明没有任何动机能诱使他违背其义务，才能重新点燃或维持公众信任。

这句话的每一个从句都出现在现代定义中。

一位君主要证明他永远不会违背自己的义务，办法是永远不想违背它们——通过遵从一套自带激励约束的公众预期体系，使得在每一个日期、每一种情形下，他若确认预期而非令预期落空，能获得更高的当期收益加延续值。

定义 98.2 (子博弈完美均衡)

一个具有承诺值 \(v\) 的递归策略是子博弈完美均衡（SPE），当且仅当

(a) 对于每一个 \(\eta \in Y\)，\(\sigma_2(v, \sigma_1(v), \eta)\) 本身就是某个子博弈完美均衡可达到的值；且

(b) 记 \(y = \sigma_1(v)\)，则

\[ v = (1-\delta)\, r(y, y) + \delta\, \sigma_2(v, y, y) \;\geq\; (1-\delta)\, r(y, \eta) + \delta\, \sigma_2(v, y, \eta), \qquad \forall\, \eta \in Y . \]

该定义为一个均衡附加了四个对象：一个承诺值 \(v\)；一个第一期结果 \((y, y)\)；若遵从规定结果被观察到，一个延续值 \(v'\)；以及若未被观察到，另一个延续值 \(\tilde v\)。

按照这些记号，条件 (b) 可写为

\[ v = (1-\delta) r(y, y) + \delta v' \;\geq\; (1-\delta) r(y, \eta) + \delta \tilde v, \qquad \forall \eta \in Y, \]

它简单地说明政府遵从要比背离做得更好。

条件 (a) 说明延续值本身必须是均衡值。

该定义是循环的——均衡值同时出现在等式两侧——而这种循环性正是递归性所换来的，也是 APS 学会加以利用的东西。

98.4. 阿布鲁-皮尔斯-斯塔凯蒂方法#

动态规划通过迭代贝尔曼方程来计算最优值函数，这是一个将明天的值函数转化为今天的值函数的映射。

APS 将这一思想应用于均衡集合。

从一个候选延续值集合 \(W \subset \mathbb{R}\) 开始。

选取第一期理性预期结果 \((y, y)\) 以及来自 \(W\) 的两个延续值：一个用来奖励遵从的 \(w_1\)，一个用来惩罚背离的 \(w_2\)。

如果 \(w_1\) 足够高，\(w_2\) 足够低，这对值就支持 \(y\)，并带来以下值：

\[ w = (1-\delta) r(y, y) + \delta w_1 \;\geq\; (1-\delta) r(y, \eta) + \delta w_2, \qquad \forall \eta \in Y . \]

定义 98.3 (可容许性)

若存在 \(w_1, w_2 \in W\)，使得对所有 \(\eta \in Y\) 都有 \(w = (1-\delta) r(y,y) + \delta w_1 \geq (1-\delta) r(y,\eta) + \delta w_2\)， 则称 \((y, w)\) 关于延续值集合 \(W\) 是可容许的。

令 \(B(W)\) 收集所有可容许对的 \(w\) 分量。

这一构造内置了 定义 98.2 的条件 (b)，但忽略了条件 (a)，因为延续值是从一个任意集合中抽取的。

定义 98.4 (自我生成性)

若 \(W \subseteq B(W)\)，则称潜在延续值的集合 \(W\) 是自我生成的。

自我生成集合中的每一个值都由取自同一集合的延续值来支持——这正是条件 (a)。

APS 证明了 SPE 值的集合 \(V\) 是最大的自我生成集合，\(B\) 将紧集映射为紧集，\(B\) 是单调的（\(W_2 \subseteq W_1\) 蕴含 \(B(W_2) \subseteq B(W_1)\)），并且从任意满足 \(B(W_0) \subseteq W_0\) 的 \(W_0\) 出发，迭代 \(W_j = B(W_{j-1})\) 单调收敛于 \(V = B(V)\)。

98.4.1. 计算算子#

有两个简化使得在此处计算 \(B\) 变得容易。

因为政府的诱惑在其做出最优反应时最强，定义 98.3 中的约束在 \(\eta = B(y)\) 处约束最紧，所以我们可以用这一单一背离来替代”对所有 \(\eta\)”。

而且，由于更低的惩罚会放松约束，我们总可以将 \(w_2\) 设为 \(W\) 中的最小元素。

记 \(W = [\underline w, \overline w]\)，则只要 \(W\) 中存在某个 \(w_1\) 满足

(98.7)#\[w_1 \;\geq\; \frac{(1-\delta)\left[r(y, B(y)) - r(y, y)\right]}{\delta} + \underline w \;\equiv\; \ell(y) ,\]

结果 \(y\) 就是可容许的，它所生成的值遍历区间 \(\left[(1-\delta) r(y,y) + \delta \max(\underline w, \ell(y)),\; (1-\delta) r(y,y) + \delta \overline w\right]\)。

def B_operator(m, W, n_grid=4001):
    """
    One application of the APS operator to an interval W = [w_lo, w_hi].

    Returns the new interval, or None if no first-period outcome is admissible.
    """
    w_lo, w_hi = W
    y = np.linspace(0.0, m.y_max, n_grid)
    ℓ = (1 - m.δ) * (r_cheat(m, y) - r_keep(m, y)) / m.δ + w_lo   # equation (10)
    ok = ℓ <= w_hi                                                 # admissible outcomes
    if not ok.any():
        return None
    keep = (1 - m.δ) * r_keep(m, y)
    lows = keep[ok] + m.δ * np.maximum(w_lo, ℓ[ok])
    highs = keep[ok] + m.δ * w_hi
    return lows.min(), highs.max()


def solve_aps(m, W0=None, tol=1e-12, max_iter=10_000):
    "Iterate the APS operator to its largest fixed point."
    W = (r_keep(m, m.y_max), 0.0) if W0 is None else W0
    for it in range(max_iter):
        W_new = B_operator(m, W)
        if W_new is None:
            return None, it
        if max(abs(W_new[0] - W[0]), abs(W_new[1] - W[1])) < tol:
            return W_new, it
        W = W_new
    return W, max_iter

我们从 \(W_0 = [r(y^\#, y^\#),\, 0]\) 出发，这个集合足够大，能够包含每一个均衡值，然后进行迭代。

W, iters = solve_aps(m)
print(f"converged in {iters} iterations")
print(f"set of SPE values V = [{W[0]:.4f}, {W[1]:.4f}]")

converged in 534 iterations
set of SPE values V = [-63.2195, -15.1250]

98.5. 最优与最差均衡#

APS 的迭代过程具有一般性，但对于为什么该集合最终落在这个位置，它没有告诉我们太多。

对于这一经济，两个端点都可以手工求得，其论证具有启发性。

98.5.1. 最差#

最差均衡值满足以下方程：

\[ \underline v = \min_{y \in Y,\; v_1 \in V}\ \left[(1-\delta) r(y,y) + \delta v_1\right] \quad\text{subject to}\quad (1-\delta) r(y,y) + \delta v_1 \geq (1-\delta) r(y, B(y)) + \delta \underline v , \]

在这里，最差值被用作背离时的延续值——这是最严厉的惩罚。

最小值在约束刚好约束（constraint binds）时取得，此时方程两侧都简化为对某个 \(y\) 有 \(\underline v = r(y, B(y))\)。

因此，找到最差均衡问题就归结为一个一维问题：

(98.8)#\[\underline v = \min_{y \in Y}\ r\bigl(y, B(y)\bigr) = -\frac{\left(U^* + \theta y^\#\right)^2}{2\left(1 + \theta^2\right)} ,\]

其中闭合形式源自 (98.4)，最小化行动是 \(y^\#\)，因为背离收益随 \(y\) 单调下降。

现在上界 \(y^\#\) 的作用清晰起来。

它是使最差惩罚保持有限的原因；若无此上界，政府可能受到任意糟糕结果的威胁，几乎任何东西都可以被支持。

命题 98.1 (最差 SPE 是自我实施的)

在最差均衡中，背离之后的延续值等于初始承诺值，因此一次背离只是简单地重新开始均衡。

98.5.2. 最优#

给定 \(\underline v\) 作为威胁，最优值满足

(98.9)#\[\overline v = \max_{y \in Y}\ r(y, y) \quad\text{subject to}\quad r(y, y) \geq (1-\delta) r\bigl(y, B(y)\bigr) + \delta \underline v ,\]

这里我们利用了这样一个事实：最优值必须以自身来奖励遵从，因此 \(\overline v = (1-\delta) r(y,y) + \delta \overline v = r(y,y)\)。

命题 98.2 (最优 SPE 是自我奖励的)

在最优均衡中，遵从之后的延续值等于承诺值。

def worst_value(m):
    "The worst SPE value and the action that attains it."
    return r_cheat(m, m.y_max), m.y_max


def best_value(m, v_lo, n_grid=200_001):
    "The best SPE value, given the worst value as the punishment threat."
    y = np.linspace(0.0, m.y_max, n_grid)
    feasible = r_keep(m, y) >= (1 - m.δ) * r_cheat(m, y) + m.δ * v_lo
    if not feasible.any():
        return None, None
    vals = np.where(feasible, r_keep(m, y), -np.inf)
    k = vals.argmax()
    return vals[k], y[k]


v_lo, y_sharp = worst_value(m)
v_hi, y_best = best_value(m, v_lo)

print(f"worst value  v_lo = {v_lo:.4f}   attained with y = {y_sharp:.2f}")
print(f"best  value  v_hi = {v_hi:.4f}   attained with y = {y_best:.2f}")
print(f"APS iteration gave [{W[0]:.4f}, {W[1]:.4f}]")
print(f"the two agree: {np.allclose(W, (v_lo, v_hi), atol=1e-6)}")

worst value  v_lo = -63.2195   attained with y = 10.00
best  value  v_hi = -15.1250   attained with y = 0.00
APS iteration gave [-63.2195, -15.1250]
the two agree: True

规划问题和集合迭代结果一致，在此贴现因子下，最优均衡正是拉姆齐结果本身。

98.6. 递归均衡示例#

现在我们按照文献发现它们的顺序，通过猜测-验证法构造具体的均衡。

98.6.1. 纳什结果的无限重复#

最简单的均衡就是永远重复单期纳什结果。

取 \(v_1 = v^N = r(y^N, y^N)\)，对每个 \(v\) 都有 \(\sigma_1(v) = y^N\)，且对每个 \((v, x, y)\) 都有 \(\sigma_2(v, x, y) = v^N\)。

条件 (a) 由构造自动满足，而条件 (b) 简化为 \(r(y^N, y^N) \geq r(y^N, B(y^N))\)，此式恰好以等式成立，因为 \(y^N\) 是最优反应映射的不动点。

这里没有任何东西能约束政府，也不需要：它已经在做自己最想做的事了。

98.6.2. 更优结果的无限重复#

设 \(v^b = r(y^b, y^b) > v^N\) 为一个优于纳什的值，假设

(98.10)#\[r\bigl(y^b, B(y^b)\bigr) - r(y^b, y^b) \;\leq\; \frac{\delta}{1-\delta}\left(v^b - v^N\right).\]

左边是背离的单期收益；右边是永久回归纳什带来的贴现损失。

当 (98.10) 成立时，规定 \(y^b\)（当承诺值为 \(v^b\) 时）并在任何背离后回归纳什的策略是一个 SPE。

Barro and Gordon [1983] 研究了 \(y^b = y^R\) 的情形：预期中的回归纳什永远支持拉姆齐结果。

至于它是否成立取决于耐心程度，对于这个经济体，其阈值具有一个非常简洁的形式。

在 (98.10) 中设 \(y^b = 0\)，并使用闭合形式 (98.4)，每一个 \(U^*\) 和每一个尺度因子都会消去，只剩下

(98.11)#\[\delta \;\geq\; \delta^\star = \frac{1}{2 + \theta^2} .\]
def supports_ramsey_by_nash(m):
    "Does reversion to Nash sustain Ramsey forever?"
    gain = r_cheat(m, 0.0) - r_keep(m, 0.0)
    loss = m.δ / (1 - m.δ) * (r_keep(m, 0.0) - r_keep(m, y_nash(m)))
    return gain <= loss


δ_star = 1 / (2 + m.θ**2)
print(f"closed-form cutoff  δ* = 1/(2 + θ²) = {δ_star:.6f}\n")
for δ in (0.20, 0.27, δ_star - 1e-6, δ_star + 1e-6, 0.50, 0.95):
    md = m._replace(δ=δ)
    print(f"  δ = {δ:.8f}: Nash reversion supports Ramsey? "
          f"{supports_ramsey_by_nash(md)}")

closed-form cutoff  δ* = 1/(2 + θ²) = 0.280702

  δ = 0.20000000: Nash reversion supports Ramsey? False
  δ = 0.27000000: Nash reversion supports Ramsey? False
  δ = 0.28070075: Nash reversion supports Ramsey? False
  δ = 0.28070275: Nash reversion supports Ramsey? True
  δ = 0.50000000: Nash reversion supports Ramsey? True
  δ = 0.95000000: Nash reversion supports Ramsey? True

在 \(\delta^\star \approx 0.28\) 以上，回归纳什的威胁足以将政府维持在零通货膨胀水平；在此之下，威胁则过于薄弱。

98.6.3. 更差的均衡：阿布鲁的大棒加胡萝卜#

当回归纳什的威胁不够强时，Abreu [1988] 探讨了是否可以用某个更差的均衡作为惩罚。

他的做法是一种大棒加胡萝卜策略：要求政府以最大速率 \(y^\#\) 通货膨胀一期——这是大棒——之后奖励它以永远的拉姆齐结果。

此值为

(98.12)#\[\tilde v = (1-\delta)\, r(y^\#, y^\#) + \delta\, v^R ,\]

拒绝接受大棒的惩罚是重新开始整个策略，因此背离时的延续值就是 \(\tilde v\) 本身。

正是这种自我指涉的选择，使得计算变得如此简单。

将 \(\tilde v\) 代入激励约束的两侧，\(\delta\) 项会相消，该策略恰好在 \(\tilde v \geq r\bigl(y^\#, B(y^\#)\bigr) = \underline v\) 时是一个均衡。

def abreu_value(m):
    "Value of the stick-and-carrot strategy: one period at y^#, then Ramsey."
    return (1 - m.δ) * r_keep(m, m.y_max) + m.δ * r_keep(m, 0.0)


for δ in (0.20, 0.95):
    md = m._replace(δ=δ)
    va, vn = abreu_value(md), r_keep(md, y_nash(md))
    print(f"δ = {δ}:  v_abreu = {va:8.4f}   v^N = {vn:8.4f}   "
          f"worse than Nash? {va < vn}   is an SPE? {va >= worst_value(md)[0]}")

δ = 0.2:  v_abreu = -55.1250   v^N = -38.7578   worse than Nash? True   is an SPE? True
δ = 0.95:  v_abreu = -17.6250   v^N = -38.7578   worse than Nash? False   is an SPE? True

在 \(\delta = 0.95\) 时，大棒加胡萝卜策略的值反而优于纳什，因为单个糟糕的时期被永久的拉姆齐结果远远抵消了。

在 \(\delta = 0.2\) 时，它则远差于纳什——这正是要点所在。

比纳什更差的惩罚是比回归纳什更强的威慑，因此它可以支持纳什回归所无法支持的结果。

m2 = m._replace(δ=0.20)

def supports_ramsey_with_threat(m, threat):
    "Does the threat value sustain Ramsey forever?"
    return r_keep(m, 0.0) >= (1 - m.δ) * r_cheat(m, 0.0) + m.δ * threat

print(f"at δ = 0.2:")
print(f"  threat = Nash    ({r_keep(m2, y_nash(m2)):8.4f}): "
      f"supports Ramsey? {supports_ramsey_with_threat(m2, r_keep(m2, y_nash(m2)))}")
print(f"  threat = Abreu   ({abreu_value(m2):8.4f}): "
      f"supports Ramsey? {supports_ramsey_with_threat(m2, abreu_value(m2))}")

at δ = 0.2:
  threat = Nash    (-38.7578): supports Ramsey? False
  threat = Abreu   (-55.1250): supports Ramsey? True

在 \(\delta = 0.2\) 时，一个缺乏耐心的政府无法被纳什的前景约束住，但可以被阿布鲁大棒的前景约束住。

有两个定义可以命名我们刚刚遇到的结构。

定义 98.5 (自我实施与自我奖励)

一个递归 SPE 若背离后的延续值等于初始承诺值，则称为自我实施的；若遵从后的延续值等于承诺值，则称为自我奖励的。

阿布鲁的大棒加胡萝卜策略是自我实施的；对优于纳什的结果进行无限重复则是自我奖励的。

命题 98.1 和 命题 98.2 表明，这两种结构并非奇特案例：它们恰恰就是极端均衡的样子。

98.7. 多重性#

这一理论内蕴含着两层多重性。

存在一个均衡值的连续统，而且——更为尖锐的一点是——许多不同的结果路径都能达到同一个值。

为了说明第二点，我们构造了三个均衡，它们都得到最差值 \(\underline v\)。

三者都以相同的方式开始：第一期承诺值为 \(\underline v\)，规定的行动是 \(y^\#\)，延续值 \(v_2\) 满足 \(\underline v = (1-\delta) r(y^\#, y^\#) + \delta v_2\)。

它们的区别在于此后的做法。

def next_value(m, v):
    "Solve v = (1-δ) r(y^#, y^#) + δ v' for the continuation value v'."
    return (v - (1 - m.δ) * r_keep(m, m.y_max)) / m.δ


def action_delivering(m, v):
    "The inflation rate ỹ with r(ỹ, ỹ) = v."
    return np.sqrt(max(-2.0 * v - m.U_star**2, 0.0))


def method_1(m, v_lo, v_hi, max_steps=500):
    "Climb at y^# until one more step would overshoot v_hi, then settle at v_hi."
    v, y = [v_lo], []
    for _ in range(max_steps):
        nxt = next_value(m, v[-1])
        if nxt > v_hi:
            break
        y.append(m.y_max)
        v.append(nxt)
    target = (v[-1] - m.δ * v_hi) / (1 - m.δ)     # r(ỹ, ỹ) for the switching period
    y.append(action_delivering(m, target))
    v.append(v_hi)
    y.append(action_delivering(m, v_hi))          # stay at v_hi forever after
    return np.array(v), np.array(y)


def method_2(m, v_lo, max_steps=500):
    "Climb at y^# only until the promised value first exceeds v^N, then freeze."
    v_N = r_keep(m, y_nash(m))
    v, y = [v_lo], []
    for _ in range(max_steps):
        nxt = next_value(m, v[-1])
        y.append(m.y_max)
        v.append(nxt)
        if nxt > v_N:
            break
    y.append(action_delivering(m, v[-1]))          # freeze at v** forever
    return np.array(v), np.array(y)


def method_3(m, v_lo):
    "One period at y^#, then freeze immediately at v_2."
    v_2 = next_value(m, v_lo)
    return (np.array([v_lo, v_2, v_2]),
            np.array([m.y_max, action_delivering(m, v_2),
                      action_delivering(m, v_2)]))

paths = {'method 1': method_1(m, v_lo, v_hi),
         'method 2': method_2(m, v_lo),
         'method 3': method_3(m, v_lo)}

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(13, 6.5), sharex='col')
for k, (name, (v, y)) in enumerate(paths.items()):
    axes[0, k].plot(range(1, len(v) + 1), v, 'C0o-', ms=3.5, lw=1)
    axes[0, k].axhline(v_lo, color='k', ls='--', lw=0.8)
    axes[0, k].axhline(v_hi, color='C2', ls=':', lw=0.8)
    axes[0, k].set_title(f'{name}: continuation values', fontsize=10)
    axes[1, k].plot(range(1, len(y) + 1), y, 'C1o-', ms=3.5, lw=1)
    axes[1, k].set_ylim(-0.4, m.y_max + 0.4)
    axes[1, k].set_xlabel('$t$')
    axes[1, k].set_title(f'{name}: inflation', fontsize=10)
axes[0, 0].set_ylabel('promised value $v_t$')
axes[1, 0].set_ylabel('inflation $y_t$')
fig.suptitle('Figures 4.2-4.4: three equilibria that all attain the worst '
             'value $v_{min}$')
plt.tight_layout()
plt.show()
_images/191a31553baf53819fe8c60e3fc27637ea6e9c57016a7f2e80c1ba1e56aed796.png

图 98.2 达到相同最差值的三种子博弈完美均衡#

print(f"Nash value {r_keep(m, y_nash(m)):.4f} at inflation {y_nash(m):.4f};  "
      f"worst value {v_lo:.4f}\n")
for name, (v, y) in paths.items():
    print(f"{name:9s}: {len(y):3d} periods before settling,  "
          f"first-period value {v[0]:.4f},  "
          f"terminal value {v[-1]:8.4f} at inflation {y[-1]:.4f}")

Nash value -38.7578 at inflation 6.8750;  worst value -63.2195

method 1 :  65 periods before settling,  first-period value -63.2195,  terminal value -15.1250 at inflation 0.0000
method 2 :  53 periods before settling,  first-period value -63.2195,  terminal value -37.6853 at inflation 6.7172
method 3 :   3 periods before settling,  first-period value -63.2195,  terminal value -63.1192 at inflation 9.7974

这三条路径几乎完全不同。

第一条路径以最大通货膨胀速率攀升约六十期，然后才降至拉姆齐结果。

第二条路径攀升的时间较短，随后永远冻结在一个刚刚优于纳什的值上，由一个略低于纳什速率的通货膨胀率所支撑。

第三条路径以最大速率通货膨胀一期，然后立即稳定下来，其值只比最差值高一点点。

三者都是子博弈完美的，且三者给政府带来的值完全相同。

均衡概念对于这三者中哪一个描述了真实世界，无话可说。

98.8. 数值示例#

以下是 [Sargent, 1999] 第4章报告的数值示例，我们从头进行了计算。

import pandas as pd

rows = [
    ("$\\theta$", m.θ, ""),
    ("$U^*$", m.U_star, ""),
    ("$y^\\#$", m.y_max, ""),
    ("$\\delta$", m.δ, ""),
    ("$y^N$ (Nash inflation)", y_nash(m), "6.8750"),
    ("$y^R$ (Ramsey inflation)", 0.0, "0"),
    ("$v^R$", r_keep(m, 0.0), "-15.1250"),
    ("$v^N$", r_keep(m, y_nash(m)), "-38.7578"),
    ("$\\underline v$", v_lo, "-63.2195"),
    ("$v_{\\rm abreu}$", abreu_value(m), "-17.6250"),
]
pd.DataFrame(rows, columns=["object", "computed", "reported in the book"]).set_index("object")
computed reported in the book
object
$\theta$ 1.250000
$U^*$ 5.500000
$y^\#$ 10.000000
$\delta$ 0.950000
$y^N$ (Nash inflation) 6.875000 6.8750
$y^R$ (Ramsey inflation) 0.000000 0
$v^R$ -15.125000 -15.1250
$v^N$ -38.757812 -38.7578
$\underline v$ -63.219512 -63.2195
$v_{\rm abreu}$ -17.625000 -17.6250 
print(f"cutoff discount factor δ*        : {1 / (2 + m.θ**2):.4f}  (book reports 0.2807)")
print(f"Abreu stick-and-carrot at δ = 0.2: {abreu_value(m._replace(δ=0.2)):.4f}"
      f"  (book reports -55.125)")

cutoff discount factor δ*        : 0.2807  (book reports 0.2807)
Abreu stick-and-carrot at δ = 0.2: -55.1250  (book reports -55.125)

每一项都与书中一致。

98.9. 解读#

关于可信计划的文献，对于 美国通货膨胀的兴衰 中自然率理论胜利的说法喜忧参半。

它确实将政府从 信誉问题 的悲观境地中拯救了出来：优于纳什的结果是可以实现的，而且在合理的贴现因子下，拉姆齐结果本身就是一个均衡。

但它拯救得太多了。

比纳什更差的值也是均衡，而两个极端之间还存在一个连续统。

众多结果在经验上使模型变得不明确，也消解了早期理性预期研究者从这一假设中所期望得到的东西——消除描述预期的自由参数。

98.9.1. 到底是谁的预期？#

在1979年对保罗·麦克拉肯编辑的一份经合组织（OECD）报告的评论中，卢卡斯抗议该报告的建议——“各国政府应努力促进良好的预期”，仿佛预期是一套额外的政策工具。

在1979年，这一抗议是有的放矢的：当时理性预期模型将政府政策视为外生的，并将预期作为政府政策的一个函数，通过跨方程约束加以关联。

可信政策理论以某种方式改变了这一局面，但对双方都不能算作清楚的支持。

它将预期体系变成了会影响结果的自由参数——但这些参数是模型内部没有任何人可以选择的。

政府遵从关于其自身行为的均衡预期。

在一个均衡内部，政府的策略同时是一条决策规则，也是对公众预期的描述，而两者是无法分开的。

正如萨金特所言：麦克拉肯报告的作者们相信多重性和操纵性，而卢卡斯对两者都持怀疑态度；关于可信计划的文献支持多重性，但不支持操纵性。

98.9.2. 补救措施#

单凭声誉是反通货膨胀政策的一个薄弱基础，这种薄弱之处激发了改变博弈规则、而非寄望于博弈内部出现一个好均衡的提议。

Rogoff [1985] 提议将货币政策委托给一个比社会整体更不关心失业的人。

将其委托给一个甚至不了解暂时性权衡取舍的人，同样有效；艾伦·布林德后来提出了一个相关的方案：委托给一个了解自然率、且从不希望失业率偏离该水平的当局。

维持一个具有不同通货膨胀-失业偏好的潜在中央银行家人才库，也能改善结果 [Barro and Gordon, 1983]。

98.9.3. 我们由此得出的结论#

上述每一项补救措施改变的都是制度，而非理论本身。

在理论内部，多重性是不可消解的，萨金特精准地指出了它的来源：它源于赋予系统中每一个人的理性。

之所以会产生这一连续统，正是因为完美理性——一套足以支持某一均衡的复杂预期体系，也足以支持许多均衡。

因此本书从完美理性中撤退。

后续的讲座将完全理性的参与者替换为对经济理解有限的参与者——首先是 适应性预期与费尔普斯问题 中的公众，然后是 最优错误设定信念 和 自我确认均衡 中的双方，最后是 适应性学习与逃逸动态 中实时估计其模型的政府。

这些模型更接近卢卡斯批评麦克拉肯报告时心目中所想的东西，而且与本讲座的理论不同，它们能够做出预测。

98.10. 练习#

练习 98.1

阈值 (98.11) 声称：当且仅当 \(\delta \geq 1/(2 + \theta^2)\) 时，回归纳什能永远维持拉姆齐结果——这一阈值只依赖于菲利普斯曲线的斜率，而不依赖于自然率 \(U^*\) 或上界 \(y^\#\)。

请通过数值方法验证这两个说法。

对于一系列 \(\theta\) 值，在细网格上找出能使回归纳什支持拉姆齐结果的最小 \(\delta\)，并与 \(1/(2+\theta^2)\) 进行比较。

然后检验改变 \(U^*\) 是否会影响这一结果。

练习 98.2

随着政府变得缺乏耐心，均衡值的集合会收缩。

使用 solve_aps 计算一系列贴现因子下的均衡值集合 \(V = [\underline v, \overline v]\)，并将两个端点相对 \(\delta\) 作图，同时标出纳什值和拉姆齐值。

大致在什么样的贴现因子下，最优均衡值不再是拉姆齐结果？

当 \(\delta \to 0\) 时，这一集合会发生什么变化？为什么这正是你应该预料到的答案？

练习 98.3

多重性一节中的方法3是三者中最为大胆的：它以 \(y^\#\) 通货膨胀一期，然后永远冻结在一个固定的通货膨胀率上。

因为它立即稳定下来，其激励约束是三者中最紧的，因此值得核实一下，而不是想当然地认为它成立。

请直接验证方法3是一个子博弈完美均衡：确认其第一期的承诺得到兑现，其冻结的延续值落在 \(V\) 内，并确认政府在两个阶段都更偏好遵从而非背离，使用 \(\underline v\) 作为惩罚。