82. 确定性等价 #

除了 Anaconda 中已有的库之外，本讲座还需要以下库：

!pip install quantecon

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from quantecon import LQ
import matplotlib as mpl  # i18n
FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"  # i18n
mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)  # i18n
mpl.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']  # i18n

82.1. 概述 #

Simon [1956] 和 Theil [1957] 为线性二次（LQ）动态规划问题建立了著名的确定性等价（CE）性质。

他们的结果证明了一种便捷的两步算法是合理的：

优化——在完全预见下进行优化（将未来外生变量视为已知）。
预测——用最优预测替代未知的未来值。

其惊人的洞见在于，这两个步骤是完全可分离的。

从第 1 步得出的决策规则与原始随机问题的决策规则完全相同，只要在第 2 步中代入最优预测即可。

决策规则不依赖于冲击的方差，但最优值函数的水平却依赖于它。

在详细描述确定性等价性质的结构之后，本讲座将描述其在理性预期建模中的作用。

我们在此大量借鉴了 Lucas and Sargent [1981] 的引言。

除了学习确定性等价原理外，本讲座还描述了 Lucas [1976] 所述的前理性预期计量经济政策评估程序所存在的问题。

备注

该卷收录了关于理性预期建模与计量经济学的早期论文。

82.2. 实证经济学的一个核心问题 #

为了铺垫背景，Lucas and Sargent [1981] 陈述了由 Leonid Hurwicz（[Hurwicz, 1962]）提出的实证经济学核心问题：

给定对某个特定经济环境中某主体行为的观测，如果环境发生了改变，我们能推断出该行为会有何不同吗？

备注

Hurwicz 将”因果关系”的概念表述为一个依赖于具体情境的概念，并将其置于一个良好定义的决策问题的框架下加以阐述。

这就是在以下情境中的策略不变结构推断问题。

观测是在一种环境或”制度”下产生的
我们想要预测在另一种”制度”下的行为
除非我们理解主体在历史制度中为何如此行事，即他们的目的，否则我们无法预测他们在新制度所面临约束下的行为。

为了面对 Hurwicz 提出的问题，Lucas and Sargent [1981] 构建了以下决策框架。

82.3. 形式化的设定 #

考虑一个单一的决策者，其在日期 \(t\) 的状况由两个状态变量 \((x_t, z_t)\) 完全描述。

环境 \(z_t \in S_1\) 由”自然”选定，并按照以下方式外生地演化

(82.1)#\[z_{t+1} = f(z_t,\, \epsilon_{t+1}),\]

其中创新项 \(\{\epsilon_t\}\) 是从固定 CDF \(\Phi(\cdot) : \mathcal{E} \to [0,1]\) 中独立同分布抽取的。

函数 \(f : S_1 \times \mathcal{E} \to S_1\) 被称为决策者的环境。

内生状态 \(x_t \in S_2\) 部分处于主体的控制之下。

每一期主体选择一个动作 \(u_t \in U\)。

一个固定的技术 \(g : S_1 \times S_2 \times U \to S_2\) 支配着转移

(82.2)#\[x_{t+1} = g(z_t,\, x_t,\, u_t).\]

决策规则 \(h : S_1 \times S_2 \to U\) 将主体的当前状况映射为一个动作：

(82.3)#\[u_t = h(z_t,\, x_t).\]

计量经济学家观测到过程 \(\{z_t, x_t, u_t\}\)（的部分或全部），其联合运动由 (82.1)、(82.2) 和 (82.3) 决定。

82.4. 仅有估计的规则是不够的 #

假设我们已从一个在固定环境 \(f_0\) 下生成的长时间序列中估计出了 \(f\)、\(g\) 和 \(h\)。

这给出了 \(h_0 = T(f_0)\)，其中 \(T\) 是将环境映射到最优决策规则的（未知）泛函映射。

但无论这个单一估计多么精确，它都无法揭示关于 \(T(f)\) 如何随 \(f\) 变化的任何信息。

策略评估需要了解整个映射 \(f \mapsto T(f)\)。

在环境变化 \(f_0 \to f_1\) 下，主体通常会修正他们的决策规则 \(h_0 \to h_1 = T(f_1)\)，从而使估计出的规则 \(h_0\) 无法用于预测 \(f_1\) 下的行为。

Lucas [1976] 和 Lucas and Sargent [1981] 的引言得出结论：唯一可行的非实验路径是恢复回报函数 \(V\)——\(h\) 是作为该优化问题的解从中推导出来的——然后在反事实环境 \(f_1\) 下重新求解该问题。

82.5. 一个优化问题 #

假设主体选择 \(h\) 以最大化当期回报 \(V : S_1 \times S_2 \times U \to \mathbb{R}\) 的期望贴现总和：

(82.4)#\[E_0\!\left\{\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t\, V(z_t,\, x_t,\, u_t)\right\}, \qquad 0 < \beta < 1,\]

给定初始条件 \((z_0, x_0)\)、环境 \(f\) 和技术 \(g\)。

这里 \(E_0\{\cdot\}\) 表示在给定 \((z_0, x_0)\) 的条件下，关于由 (82.1) 所诱导的 \(\{z_1, z_2, \ldots\}\) 分布的期望。

原则上，对 \(V\) 的了解（连同 \(g\) 和 \(f\)）使人们能够在理论上计算 \(h = T(f)\)，从而对任何反事实的 \(f\) 追踪出 \(T(f)\)。

本质的问题在于，\(V\) 本身能否从对 \(\{f, g, h\}\) 的观测中恢复出来。

备注

决策规则一般是一个泛函 \(h = T(f, g, V)\)。在正文中对 \(g\) 和 \(V\) 的依赖被略去了，但在需要时会显式表明。

82.6. 一个线性二次动态规划问题与确定性等价 #

要超越上一节的一般性水平取得进展，需要对基本要素加以限制。

在 Lucas and Sargent [1981] 所收录的论文中所采用的一种富有成效的限制是，令 \(V\) 为二次的、\(g\) 为线性的，这就迫使 \(h\) 成为线性的。

作为其计算易处理性的一部分，这种特殊化给出了一个惊人的结构性结果：

Simon [1956] 和 Theil [1957] 的确定性等价定理。

82.6.1. \(h\) 的分解#

在二次 \(V\) 和线性 \(g\) 的条件下，最优决策规则 \(h\) 分解为按顺序应用的两个组成部分。

第 1 步——预测。 定义对所有当前及未来自然状态的最优点预测的无穷序列：

(82.5)#\[\tilde{z}_t \;=\; \bigl(z_t,\;\; {}_{t+1}z_t^e,\;\; {}_{t+2}z_t^e,\;\ldots\bigr) \;\in\; S_1^\infty,\]

其中 \({}_{t+j}z_t^e\) 表示在时刻 \(t\) 形成的对 \(z_{t+j}\) 的最小均方误差预测。

最优预测序列是当前状态的一个（通常是非线性的）函数：

(82.6)#\[\tilde{z}_t = h_2(z_t).\]

函数 \(h_2 : S_1 \to S_1^\infty\) 完全依赖于环境 \((f, \Phi)\)，并且作为一个纯预测问题的解而获得，与偏好或技术无关。

第 2 步——优化。 给定预测序列 \(\tilde{z}_t\)，最优动作是 \(\tilde{z}_t\) 和 \(x_t\) 的一个线性函数：

(82.7)#\[u_t = h_1(\tilde{z}_t,\, x_t).\]

函数 \(h_1 : S_1^\infty \times S_2 \to U\) 完全依赖于偏好 \((V)\) 和技术 \((g)\)，而不依赖于随机环境 \((f, \Phi)\)。

因此，最终的决策规则是复合：

(82.8)#\[\boxed{h(z_t, x_t) \;=\; h_1\!\bigl[h_2(z_t),\; x_t\bigr].}\]

82.6.2. 分离原理#

(82.8) 体现了 \(h\) 中两个依赖来源的清晰分离：

组成部分	依赖于	独立于
\(h_1\)（优化）	\(V\)、\(g\)	\(f\)、\(\Phi\)
\(h_2\)（预测）	\(f\)、\(\Phi\)	\(V\)、\(g\)

由于策略分析关注的是 \(f\) 的变化，而 \(h_1\) 对 \(f\) 保持不变，策略分析者只需在新环境下重新求解预测问题 \(h_2 = S(f)\)，同时保持 \(h_1\) 固定。

最初关注的关系 \(h = T(f)\) 随后即可直接由 (82.8) 得出。

82.6.3. 确定性等价与完全预见#

“确定性等价”这一名称反映了 LQ 结构的一个进一步含义：函数 \(h_1\) 可以像主体确定地知道未来路径 \(z_{t+1}, z_{t+2}, \ldots\) 那样推导出来——即通过求解确定性问题，其中 \(\tilde{z}_t\) 被视为实现的路径而非预测。

环境的随机性仅通过预测 \(\tilde{z}_t\) 影响动作；给定 \(\tilde{z}_t\)，优化问题就是确定性的。

这意味着 LQ 问题解耦为：

完全预见下的动态优化——通过将 \(\tilde{z}_t\) 视为已知，从 \((V, g)\) 求解 \(h_1\)，得到一个标准的确定性 LQ 调节器问题，它独立于环境 \((f, \Phi)\)。
最优线性预测——使用最小二乘预测理论从 \((f, \Phi)\) 求解 \(h_2 = S(f)\)，当 \(f\) 本身是线性的时，这就归结为标准的卡尔曼/维纳预测公式。

82.6.4. 跨方程约束#

理性预期假设在此框架中呈现的一个标志性特征是，它将本来在不同方程中会是自由参数的东西联系在一起。

\(\tilde{z}_t = h_2(z_t) = S(f)(z_t)\) 的要求——即主体的预测相对于实际的运动规律 \(f\) 是最优的——在预测规则 \(h_2\) 的参数与环境 \(f\) 的参数之间强加了跨方程约束。

正是这些约束，而非任何关于单个方程内分布滞后的条件，才是理性预期起作用的经验内容。

备注

这是 Lucas [1976] 和 Sargent [1981] 所传达的信息。

以下代码在数值上验证了 CE 原理。

我们考虑一个简单的标量 LQ 问题：

\[y_{t+1} = a\, y_t + b\, u_t + \sigma\, \varepsilon_{t+1}, \qquad r(y_t, u_t) = -(q\, y_t^2 + r\, u_t^2)\]

并在一个宽泛的范围内改变噪声标准差 \(\sigma\)。

CE 定理预测：

策略增益 \(F\)（即 \(u_t = -F y_t\) 中的系数）独立于 \(\sigma\)，并且
值常数 \(d\)（即 \(V(y) = -y^\top P y - d\) 中的加性项）随 \(\sigma\) 增长。

a, b_coeff = 0.9, 1.0
q, r = 1.0, 1.0
β = 0.95

A = np.array([[a]])
B = np.array([[b_coeff]])
R_mat = np.array([[q]])          # 状态成本
Q_mat = np.array([[r]])          # 控制成本

σ_vals = np.linspace(0.0, 3.0, 80)
F_vals, d_vals = [], []

for σ in σ_vals:
    C = np.array([[σ]])
    lq = LQ(Q_mat, R_mat, A, B, C=C, beta=β)
    P, F, d = lq.stationary_values()
    F_vals.append(float(F[0, 0]))
    d_vals.append(float(d))

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))

axes[0].plot(σ_vals, F_vals, lw=2)
axes[0].set_xlabel('噪声水平 $\\sigma$')
axes[0].set_ylabel('策略增益 $F$')
axes[0].set_title('策略增益')
axes[0].set_ylim(0, 2 * max(F_vals) + 0.1)

axes[1].plot(σ_vals, d_vals, lw=2, color='C1')
axes[1].set_xlabel('噪声水平 $\\sigma$')
axes[1].set_ylabel('值常数 $d$')
axes[1].set_title('值常数')
fig.tight_layout()
plt.show()

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_images/b795e1acfa61de8690de1fd1ca2c70c090a7ffc2f892505185d2b7523d327483.png — 图 82.1 CE：策略不依赖于噪声#

正如图所证实的那样，\(F\)（策略增益）在所有噪声水平上都是平坦的，而值常数 \(d\) 随 \(\sigma\) 单调增加。

这就是 CE 原理的实际体现：不确定性改变了问题的值，但没有改变最优决策规则。

82.7. 特设预期的一个问题 #

先前的做法，以 Friedman [1956] 和 Cagan [1956] 的适应性预期机制为例，直接假设了 (82.6) 的一种特定形式：

(82.9)#\[\theta_t^e = \lambda \sum_{i=0}^{\infty} (1-\lambda)^i\, \theta_{t-i}, \qquad 0 < \lambda < 1,\]

将系数 \(\lambda\) 视为一个待从数据中估计的自由参数，而不参考底层环境 \(f\)。

其缺陷不在于 (82.9) 是一个分布滞后——线性预测规则是完全可以接受的简化。

缺陷在于分布滞后的系数未受理论约束。

映射 \(h_2 = S(f)\) 表明，最优预测系数是由 \(f\) 决定的：当 \(f\) 改变时，\(h_2\) 改变，\(h\) 也随之改变。

因此，在 \(f_0\) 下校准的估计 \(\lambda\) 是非结构性的，只要 \(f\) 发生改变，它就会给出不正确的预测。

这就是 Muth [1960] 所发表批评的计量经济学内容。

理性预期将主体在形成 \(\tilde{z}_t\) 时所使用的主观分布等同于实际生成数据的客观分布 \(f\)，从而闭合模型并消除 \(h_2\) 中的自由参数。

82.8. 练习 #

练习 82.1

使用上面代码单元中的标量 LQ 设定（其中 \(a = 0.9\)、\(b = 1\)、 \(q = r = 1\)、\(\beta = 0.95\)），在数值上验证值常数 \(d\) 满足 \(d \propto \sigma^2\)。

提示： 从 CE 分析来看，值常数满足 \(d = \tfrac{\beta}{1-\beta}\,\mathrm{tr}(C^\top P C)\)，并且由于在标量情况下 \(C = \sigma\)，这给出 \(d = \tfrac{\beta}{1-\beta}\, P\, \sigma^2\)。

确认 \(d\) 关于 \(\sigma^2\) 的图是线性的，并计算理论斜率 \(\tfrac{\beta}{1-\beta} P\)。

解答练习 82.1

σ_sq_vals = σ_vals ** 2

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(σ_sq_vals, d_vals, lw=2)
ax.set_xlabel('$\\sigma^2$')
ax.set_ylabel('值常数 $d$')

coeffs = np.polyfit(σ_sq_vals, d_vals, 1)
ax.plot(σ_sq_vals, np.polyval(coeffs, σ_sq_vals),
        'r--', lw=2, label=f'线性拟合：斜率 = {coeffs[0]:.3f}')
ax.legend()
fig.tight_layout()
plt.show()

P_scalar = float(LQ(Q_mat, R_mat, A, B, C=np.zeros((1, 1)),
                    beta=β).stationary_values()[0].item())
theoretical_slope = β / (1 - β) * P_scalar
print(f"经验斜率:    {coeffs[0]:.4f}")
print(f"理论斜率 β/(1-β)*P = {theoretical_slope:.4f}")

_images/06c5b0889ce0bb5d4f29d9c6b92ecf774d34be32c3a86774097411ef9c54e732.png

经验斜率:    27.9740
理论斜率 β/(1-β)*P = 27.9740

斜率确实是 \(\tfrac{\beta}{1-\beta} P\)，从而证实了这个解析公式。

值矩阵 \(P\) 完全由偏好和技术决定，而不由噪声水平决定——这是确定性等价原理的一个直接结果。

82.9. 结束语 #

本讲座的续篇确定性等价与模型不确定性描述了如何将确定性等价原理扩展到一个线性二次的设定中，在该设定中决策者不信任其基准模型所设定的转移动态。