13. 估算财富税收入#

13.1. 概述#

在本讲座中，我们讨论一个有助于说明最大似然方法价值的估计问题。

这个问题是：对极富有人群的财富征税会带来多少收入？

这是一个时下热门的问题。

例如，2019 年，美国参议员伊丽莎白·沃伦提出对家庭净资产超过 5000 万美元的部分每年征税，超过 10 亿美元的部分税率更高（参见 提案）。

埃马纽埃尔·赛斯和加布里埃尔·祖克曼估计，该税收方案将在十年内带来约 2.75 万亿美元的收入（致沃伦的信），并在 [Saez and Zucman, 2019] 中详细讨论了财富税问题。

其他经济学家认为这些估计过高，而这种分歧主要集中在最富有家庭的数量和财富上。

在本讲座中，我们使用美国家庭调查数据来估算财富税的收入。

估计工作颇具挑战性，因为最富有的家庭在数据中的代表性不足。

为了填补这一空白，我们使用帕累托分布来建模财富分布的上尾，并通过 最大似然法 进行拟合。

我们将使用以下导入语句。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

13.2. 税收方案#

我们研究对沃伦提案的一种修改版本，其边际税率表如下：

净资产

边际税率

1000 万美元以下

0%

1000 万至 5000 万美元

1%

5000 万至 10 亿美元

2%

10 亿美元以上

6%

我们可以如下表示这个税率表。

设 \(h(w)\) 为净资产为 \(w\) 的家庭所需缴纳的税款。

我们可以将 \(h\) 写为

(13.1)#\[ h(w) = \sum_{k=1}^{3} r_k \, (w - t_k)^+ \]

其中

  • \(x^+ = \max\{x, 0\}\)，

  • 阈值为 \(t_1 = 10\text{M}\)、\(t_2 = 50\text{M}\) 和 \(t_3 = 1000\text{M}\)，以及

  • \(r_1 = 0.01\)，\(r_2 = 0.01\)，\(r_3 = 0.04\)

注意每个 \(r_k\) 是边际税率在 \(t_k\) 处的增量。

以下是我们在 Python 中如何表示这个函数。

thresholds = np.array([10e6, 50e6, 1e9])
rate_increases = np.array([0.01, 0.01, 0.04])

def h(w, thresholds=thresholds, rate_increases=rate_increases):
    "Tax paid by a household with net worth w."
    return sum(r * np.maximum(w - t, 0)
               for t, r in zip(thresholds, rate_increases))

总收入是全国所有家庭的 \(h(w)\) 之和。

13.3. 调查估计值#

我们的数据来自美联储理事会运行的 2022 年 消费者财务调查（SCF）。

这些数据已有几年历史，但对于本练习而言已经足够。

url = ('https://github.com/QuantEcon/data-lectures/raw/main/'
       'lectures/us_household_net_worth_2022.csv')
scf = pd.read_csv(url)
scf.head()
yy1 y1 wgt networth
0 1 11 3027.956120 762100.0
1 1 12 3054.900065 854300.0
2 1 13 3163.637766 678200.0
3 1 14 3166.228463 279600.0
4 1 15 3235.624715 602600.0

每一行记录了被调查家庭的净资产 networth 和一个调查权重 wgt。

该权重表示这一行所代表的美国家庭数量。

（这些权重用于调整财富分布不同部分的欠抽样和过抽样。）

w = scf['networth'].to_numpy()
λ = scf['wgt'].to_numpy()

λ.sum() / 1e6     # number of US households, in millions

np.float64(131.3063893834636)

对总收入的一个明显估计是以下加权和。

\[ \hat T_S = \sum_i \lambda_i \, h(w_i) \]

这里 \(\lambda_i\) 是第 \(i\) 行的权重。

T_survey = np.sum(λ * h(w))
print(f"survey estimate: ${T_survey / 1e9:.0f} billion per year")

survey estimate: $533 billion per year

13.4. 缺失的富人#

由于设计原因，SCF 排除了一些极富有的美国人，因为这些人太容易被识别。

这意味着我们的估计值偏低。

让我们统计一下调查中不同财富水平以上的家庭数量。

levels = [10e6, 50e6, 100e6, 1e9, 2.7e9]
pd.DataFrame({
    'survey households': [scf.loc[w > c, 'yy1'].nunique() for c in levels],
    'US households represented': [round(λ[w > c].sum()) for c in levels]},
    index=['> $10M', '> $50M', '> $100M', '> $1B', '> $2.7B'])
survey households US households represented
> $10M 676 2132856
> $50M 311 185003
> $100M 194 64443
> $1B 21 1655
> $2.7B 0 0

调查中只有约二十个家庭财富超过 10 亿美元，而没有一个超过 27 亿美元。

27 亿美元恰好是 2022 年进入《福布斯》400 强榜单所需的财富。

这些个人合计拥有 4.0 万亿美元的财富（《福布斯》）。

forbes_count = 400
forbes_cutoff = 2.7e9
forbes_wealth = 4.0e12

print(f"total wealth in the survey: ${np.sum(λ * w) / 1e12:.0f} trillion")

total wealth in the survey: $139 trillion

因此，在 2022 年，福布斯 400 强持有约 3% 的美国家庭财富，而这些财富全部在调查中缺失。

福布斯 400 强需要缴纳多少税？

我们只知道他们的合计财富，而不知道每个成员的财富，因此我们不能简单地对每个成员应用 \(h\)。

但每个成员的财富都超过 10 亿美元，而在这一水平以上，税收计算很简单：财富为 \(w\) 的成员在首个 10 亿美元上缴纳 \(h(1\text{B})\)，超出部分按 6% 缴纳。

将所有成员加总，得到

\[ 400 \cdot h(1\text{B}) + 0.06 \cdot (\text{combined wealth} - 400 \cdot 1\text{B}) \]

这只取决于他们的合计财富。

tax_on_first_billion = h(1e9)                # paid in full by every member
wealth_above_billion = forbes_wealth - forbes_count * 1e9
forbes_tax = forbes_count * tax_on_first_billion + 0.06 * wealth_above_billion
print(f"tax owed by the Forbes 400: ${forbes_tax / 1e9:.0f} billion per year")

tax owed by the Forbes 400: $224 billion per year

相对于调查估计值而言，这是一笔巨大的金额，而 \(\hat T_S\) 完全遗漏了它。

还有第二个更为微妙的问题。

即使在调查确实包含极富有家庭的地方，其数量也非常少，因此调查对最高税档收入的估计仅依赖于少数几个观测值，具有很高的不确定性。

13.5. 上尾的帕累托模型#

为了解决这些问题，我们需要一个财富分布上尾的模型，可以从调查观测到的尾部部分进行估计，然后推广到调查未能观测到的部分。

正如 重尾分布 中讨论的那样，标准模型是帕累托分布，其起源可追溯到 Vilfredo [1896]。

这一选择有充分的经验支持 [Saez and Zucman, 2016]、[Vermeulen, 2018]。

同样也有理论支持：许多财富以随机速率增长的模型都会产生帕累托上尾 [Gabaix, 2016]、[Jones, 2015]、[Benhabib and Bisin, 2018]。

回顾 重尾分布，如果财富 \(W\) 在某个阈值 \(u\) 以上具有尾指数为 α 的帕累托尾部，那么

\[ \mathbb{P}\{W > x \mid W > u\} = \left( \frac{u}{x} \right)^\alpha \qquad (x \geq u) \]

取对数后，\(\ln \mathbb{P}\{W > x\}\) 是 \(\ln x\) 的线性函数，斜率为 \(-\alpha\)。

因此，当我们在对数-对数坐标轴上绘制互补累积分布函数（超过 \(x\) 的概率）与 \(x\) 的关系图时，帕累托尾部会表现为一条直线。

让我们绘制调查数据的互补累积分布函数，使用权重使每一行按其所代表的家庭数量成比例计入。

def weighted_ccdf(x_grid, w, λ):
    "Fraction of households with wealth above each point of x_grid."
    return np.array([λ[w > x].sum() for x in x_grid]) / λ.sum()

x_grid = np.geomspace(1e6, 2.5e9, 300)

fig, ax = plt.subplots()
ax.loglog(x_grid, weighted_ccdf(x_grid, w, λ), lw=2, label='survey')
ax.axvline(10e6, color='k', ls=':', lw=1)
ax.set_ylim(1e-8, 1)
ax.set_xlabel('net worth (US$)')
ax.set_ylabel('fraction of households above')
ax.legend()
plt.show()
_images/597c531fb3dcd83c5873de35fe140b5e4e7251155ee2ccb0077c6c9fd0b5c615.png

Fig. 13.1 美国家庭财富的互补累积分布函数#

在约 1000 万美元以下（虚线处），曲线发生弯折，因此该区域的分布不是帕累托分布。

在 1000 万美元以上，曲线接近一条直线。

在最右端，曲线急剧下降，因为调查数据止于略低于 24 亿美元处。

因此，我们在阈值 \(u = 1000\) 万美元以上拟合帕累托尾部，这也正是我们税收方案的起始点。

13.6. 估计尾指数#

在 最大似然估计 中，我们发现，给定已知阈值 \(u\) 以上的观测值 \(x_1, \ldots, x_n\)，尾指数的最大似然估计为

\[ \hat \alpha = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln (x_i / u)} \]

这里我们必须考虑权重。

如果第 \(i\) 行代表 \(\lambda_i\) 个家庭，那么它对总体对数似然的贡献是其对数密度的 \(\lambda_i\) 份拷贝：

\[ \ell(\alpha) = \sum_{i: w_i > u} \lambda_i \ln f(w_i; \alpha) \]

用这些权重重复 最大似然估计 中的计算，得到

\[ \hat \alpha = \frac{\sum_{i: w_i > u} \lambda_i} {\sum_{i: w_i > u} \lambda_i \ln (w_i / u)} \]
def tail_index(u, w, λ):
    "Weighted maximum likelihood estimate of the Pareto tail index above u."
    above = w > u
    return λ[above].sum() / np.sum(λ[above] * np.log(w[above] / u))

u = 10e6
α_hat = tail_index(u, w, λ)
α_hat

np.float64(1.5624405884551842)

这与已发表的美国估计值相近，后者约为 1.5 [Vermeulen, 2018]。

13.7. 收入的帕累托估计#

在估计出尾部后，我们可以根据模型而非调查来计算收入。

设 \(N_u\) 为财富超过 \(u\) 的家庭数量，我们根据调查权重来估计它。

N_u = λ[w > u].sum()
N_u

np.float64(2132856.3510950943)

收入等于 \(N_u\) 乘以财富超过 \(u\) 的家庭的平均纳税额。

利用 (13.1)，这个平均值为

\[ \mathbb{E}[h(W) \mid W > u] = \sum_{k} r_k \, \mathbb{E}[(W - t_k)^+ \mid W > u] \]

对于阈值 \(u\) 以上的帕累托尾部和阈值 \(t \geq u\)，一个简短的计算表明

(13.2)#\[ \mathbb{E}[(W - t)^+ \mid W > u] = \int_t^\infty (x - t) \, \frac{\alpha u^\alpha}{x^{\alpha + 1}} \, dx = \frac{u^\alpha t^{1 - \alpha}}{\alpha - 1} \]

前提是 α > 1。

（当 α ≤ 1 时，积分为无穷大，因此预期税额也是无穷大。）

综合这些结果，得到收入的帕累托估计：

\[ \hat T_P = N_u \sum_k r_k \frac{u^{\hat \alpha} t_k^{1 - \hat \alpha}}{\hat \alpha - 1} \]
def expected_excess(t, α, u):
    "Expected value of (W - t)^+ for a Pareto tail above u, with t >= u."
    return u**α * t**(1 - α) / (α - 1)

def pareto_revenue(α, u, N_u,
                   thresholds=thresholds, rate_increases=rate_increases):
    "Pareto estimate of revenue, for a tail above u containing N_u households."
    return N_u * np.sum(rate_increases * expected_excess(thresholds, α, u))

T_pareto = pareto_revenue(α_hat, u, N_u)
print(f"Pareto estimate: ${T_pareto / 1e9:.0f} billion per year")

Pareto estimate: $646 billion per year

13.8. 比较两种估计值#

帕累托估计值高于调查估计值。

为了看出差异的来源，让我们按税档分解收入。

第 \(k\) 档的收入是财富在 \(t_k\) 和 \(t_{k+1}\) 之间的部分按该档边际税率计算的税额。

marginal_rates = np.cumsum(rate_increases)
upper = np.append(thresholds[1:], np.inf)

survey_by_bracket = [np.sum(λ * m * np.clip(np.minimum(w, t_up) - t, 0, None))
                     for t, t_up, m in zip(thresholds, upper, marginal_rates)]

def excess_between(t, t_up, α, u):
    "Expected wealth between t and t_up, for a Pareto tail above u."
    top = expected_excess(t_up, α, u) if np.isfinite(t_up) else 0.0
    return expected_excess(t, α, u) - top

pareto_by_bracket = [N_u * m * excess_between(t, t_up, α_hat, u)
                     for t, t_up, m in zip(thresholds, upper, marginal_rates)]

table = pd.DataFrame({'survey': survey_by_bracket,
                      'Pareto': pareto_by_bracket},
                     index=['$10M-$50M at 1%', '$50M-$1B at 2%', 'above $1B at 6%'])
table.loc['total'] = table.sum()
(table / 1e9).round(0)     # billions of dollars per year
survey Pareto
$10M-$50M at 1% 227.0 226.0
$50M-$1B at 2% 273.0 250.0
above $1B at 6% 32.0 171.0
total 533.0 646.0

在第一档中，调查拥有数百个家庭观测值，两种估计几乎完全一致。

这令人放心，因为它表明帕累托模型很好地描述了调查所观测到的那部分尾部。

随着我们向上移动，估计值出现分歧，而在最高税档中，帕累托估计值要大出好几倍。

这正是调查数据稀疏并随后终止的地方，也正是我们对缺失家庭产生担忧的地方。

13.9. 与福布斯 400 强的对照检验#

帕累托模型对不在调查中的家庭做出了预测，我们可以用福布斯 400 强来检验这些预测。

根据该模型，财富超过福布斯门槛 \(c = 27\) 亿美元的家庭数量为 \(N_u (u / c)^{\alpha}\)。

这些家庭的平均财富为 \(\alpha c / (\alpha - 1)\)，这可由 (13.2) 令 \(u = t = c\) 并加上 \(c\) 得出。

n_forbes_model = N_u * (u / forbes_cutoff)**α_hat
wealth_forbes_model = n_forbes_model * α_hat * forbes_cutoff / (α_hat - 1)

pd.DataFrame({'Pareto model': [n_forbes_model, wealth_forbes_model / 1e12],
              'Forbes': [forbes_count, forbes_wealth / 1e12]},
             index=['households above $2.7B', 'their wealth ($ trillion)']).round(1)
Pareto model Forbes
households above $2.7B 338.9 400.0
their wealth ($ trillion) 2.5 4.0

该模型在这一水平预测的家庭数量比福布斯统计的略少，财富总额也明显偏低，但在数量级上是正确的。

这是一项严格的检验，因为该模型完全是根据财富低于 24 亿美元的调查家庭估计出来的。

我们可以通过将拟合的帕累托直线延伸到调查数据之外，并将福布斯 400 强作为单个数据点添加进去，从图形上看出这一点。

N = λ.sum()
x_fit = np.geomspace(u, 1e11, 100)

fig, ax = plt.subplots()
ax.loglog(x_grid, weighted_ccdf(x_grid, w, λ), lw=2, label='survey')
ax.loglog(x_fit, (N_u / N) * (u / x_fit)**α_hat, 'k--', lw=2,
          label='fitted Pareto tail')
ax.loglog(forbes_cutoff, forbes_count / N, 'o', ms=8, label='Forbes 400')
ax.set_ylim(1e-9, 1)
ax.set_xlabel('net worth (US$)')
ax.set_ylabel('fraction of households above')
ax.legend()
plt.show()
_images/65260f2ae61dcf3f208f82521f6b3b2f9d53b9e8c57bcc4aae02073dc804f5aa.png

Fig. 13.2 拟合的帕累托尾部与福布斯 400 强#

福布斯数据点位于拟合直线稍微上方。

原因可能有几种。

  • α 的估计值存在不确定性，一个稍小的值将会通过福布斯数据点。

  • 分布的最顶端可能比我们用来估计 α 的范围具有更重的尾部。

  • 富裕家庭可能不太愿意回应调查，这会使 α 的估计值偏高 [Vermeulen, 2018]。

  • 《福布斯》使用自己的估值方法统计个人和家族，这与调查中对家庭净资产的定义有所不同。

这一比较表明，如果说存在偏差的话，我们对收入的帕累托估计反而是保守的。

13.10. α 有多重要？#

\(\hat T_P\) 的公式中，分母包含 \(\hat \alpha - 1\) 这一项。

因此，随着 α 趋近于 1，估计收入将无限增大。

让我们绘制收入与 α 的关系图。

α_values = np.linspace(1.3, 2.0, 100)
revenue = [pareto_revenue(a, u, N_u) for a in α_values]

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(α_values, np.array(revenue) / 1e9, lw=2, label='Pareto estimate')
ax.axhline(T_survey / 1e9, color='C1', ls='--', lw=2, label='survey estimate')
ax.axvline(α_hat, color='k', ls=':', lw=1)
ax.set_xlabel(r'tail index $\alpha$')
ax.set_ylabel('revenue (US$ billion per year)')
ax.legend()
plt.show()
_images/7745f50a23f97160e2d21aae2cbda9da71c0f5221209557d42a88f92a89579f3.png

Fig. 13.3 收入的帕累托估计与尾指数的关系#

将 α 从 1.6 移动到 1.4——这一变化完全处于抽样不确定性的范围之内（参见 本练习）——估计收入大约翻了一倍。

这种敏感性是财富税收入估计如此存在争议的原因之一。

最后，我们所有的估计都是机械式的：它们假设家庭不会因税收而改变其行为。

实际上，富裕家庭可能通过转移资产、改变资产估值方式或以其他方式规避税收来做出反应，而这些反应的大小正是政策辩论中的核心问题 [Saez and Zucman, 2019]。

13.11. 练习#

Exercise 13.1

沃伦最初的提案对净资产超过 5000 万美元的部分征收 2% 的税，对超过 10 亿美元的部分征收 3% 的税。

计算该税率表下收入的调查估计值和帕累托估计值。

将它们与赛斯和祖克曼估计的每年约 2750 亿美元（十年内 2.75 万亿美元）进行比较。

Exercise 13.2

估计值 \(\hat \alpha\) 存在抽样波动。

衡量这一点的一种方法是自助法（bootstrap）：从调查家庭中有放回地抽取一个新样本，重新计算估计值，并重复多次。

由于每个家庭出现在五行数据中，请对家庭（由 yy1 标识）而非对行进行重新抽样。

使用 200 个自助样本，计算 \(u = 1000\) 万美元处 \(\hat \alpha\) 的 90% 区间，以及相应的 \(\hat T_P\) 区间。

Exercise 13.3

在第一档中，调查估计值与帕累托估计值一致，因为调查在该档拥有大量观测值。

这提示我们可以采用一种混合估计：对财富低于 5000 万美元的家庭使用调查数据，对其余家庭使用帕累托模型（仍然在 \(u = 1000\) 万美元以上拟合）。

计算这个估计值。

提示：财富为 \(W > c = 5000\) 万美元的家庭在第一档缴纳 \(0.01 (c - 10\text{ million})\)，再加上 \(0.02 (W - c) + 0.04 (W - 1 \text{ billion})^+\)。