14. 货币主义价格水平理论#

14.3.1.1. 实验1：可预期的突然稳定#

在这个实验中，我们将探讨当 $\alpha >0$ 时，一个可预期的通货膨胀稳定政策会如何影响其实施前的通货膨胀走势。具体来说，我们将分析这样一种情况：货币供应增长率在 $t=0$ 到 $t=T_1$ 期间保持在 ${\mu }_0$ 的水平，然后在 $t=T_1$ 时刻突然永久性地降至 ${\mu }^{\ast }$。

因此，令 $T_1\in (0,T)$。

所以当 ${\mu }_0>{\mu }^{\ast }$ 时，我们假设

让我们先来看”实验1”，在这个实验中，政府会在时间 $T_1$ 实施一个可预见的政策使货币供应增长率的突然永久性下调。

我们设定以下参数来进行实验

T1 = 60
μ0 = 0.5
μ_star = 0
T = 80

μ_seq_1 = np.append(μ0*np.ones(T1+1), μ_star*np.ones(T-T1))

cm = create_cagan_model(μ_seq=μ_seq_1)

# 求解模型
π_seq_1, m_seq_1, p_seq_1 = solve(cm, T)

我们用下面的函数来进行绘图

def plot_sequences(sequences, labels):
    fig, axs = plt.subplots(len(sequences), 1, figsize=(5, 12))
    for ax, seq, label in zip(axs, sequences, labels):
        ax.plot(range(len(seq)), seq, label=label)
        ax.set_ylabel(label)
        ax.set_xlabel('$t$')
        ax.legend()
    plt.tight_layout()
    plt.show()

sequences = (μ_seq_1, π_seq_1, m_seq_1 - p_seq_1, m_seq_1, p_seq_1)
plot_sequences(sequences, (r'$\mu$', r'$\pi$', r'$m - p$', r'$m$', r'$p$'))

顶部面板中货币增长率 ${\mu }_t$ 的图表显示在时间 $T_1=60$ 时从 $.5$ 突然降至 $0$。

这导致通货膨胀率 ${\pi }_t$ 在 $T_1$ 之前逐渐降低。

注意通货膨胀率如何平滑（即连续）地降至 $T_1$ 时的 $0$ —— 与货币增长率不同，它在 $T_1$ 时并没有突然”跳跃”下降。

这是因为经济主体从一开始就预见到了在 $T_1$ 时货币增长率 $\mu$ 会下降。

从底部面板可以看到，虽然对数货币供应在 $T_1$ 处出现了明显的拐点，但对数价格水平却保持平滑变化。这也是因为经济主体提前预见到了货币增长率的下降。

在进行下一个实验之前，我们需要更深入地理解价格水平是如何决定的。

14.3.3.1. 关于价格水平 $p$ 还是货币供应量 $m$ 在 $T_1$ 时的跳跃#

我们注意到，当 $s\ge t$ 时如果预期的未来货币增长率序列 ${\mu }_s$ 保持在常数水平 $\overline{\mu }$，那么通胀率 ${\pi }_t$ 也会等于 $\overline{\mu }$。

这意味着在 $T_1$ 时，$m$ 或 $p$ 必须有一个”跳跃”。

让我们分析这两种情况。

14.3.3.2. 情况一：$m_{T_1}$ 不跳跃#

我们只需将 $t\le T_1$ 和 $t>T_1$ 的序列直接连接起来。

14.3.3.3. 情况二：$m_{T_1}$ 跳跃#

我们调整 $m_{T_1}$ 使得 $p_{T_1}=(m_{T_1-1}+{\mu }_0)+\alpha {\mu }_0$，同时 ${\pi }_{T_1}={\mu }^{\ast }$。

因此，

然后我们计算剩余的 $T-T_1$ 期，其中 ${\mu }_s={\mu }^{\ast },\mathrm{\forall }s\ge T_1$，并使用上述 $m_{T_1}$ 作为初始条件。

有了这些技术准备，我们现在可以进行下一个实验了。

14.3.3.4. 实验2：不可预期的突然稳定#

这个实验稍微偏离了我们之前的”完全预见”假设。我们假设货币增长率 ${\mu }_t$ 的突然永久性下降是完全出乎意料的,而不像实验1那样是可预见的。

这种完全出乎意料的冲击在经济学中通常被称为”MIT冲击”。

这个思想实验涉及在时间 $T_1$ 从一个初始路径切换到另一个低通胀率的路径。

初始路径： 所有时期 $t\ge 0$ 的货币增长率都是 ${\mu }_t={\mu }_0$。因此这个路径是 $\{{\mu }_t{\}}_{t=0}^{\mathrm{\infty }}$；对应的通胀率路径是 ${\pi }_t={\mu }_0$。

修正后的路径： 当 ${\mu }_0>{\mu }^{\ast }$ 时，我们构建一个新路径 $\{{\mu }_s{\}}_{s=T_1}^{\mathrm{\infty }}$，其中所有 $s\ge T_1$ 时期的货币增长率都是 ${\mu }_s={\mu }^{\ast }$。在完全预见下，对应的通胀率路径是 ${\pi }_s={\mu }^{\ast }$。

为了模拟在时间 $T_1$ 对货币增长率 $\{{\mu }_t\}$ 的”完全不可预期的永久性冲击”，我们只需将两段路径拼接起来：

• $t<T_1$ 时采用初始路径的 ${\mu }_t$ 和 ${\pi }_t$

• $t\ge T_1$ 时采用修正后路径的 ${\mu }_t$ 和 ${\pi }_t$

这个MIT冲击的计算相对直观：

• 在路径1中，$t\in [0,T_1-1]$ 时期的通胀率是 ${\pi }_t={\mu }_0$

• 在路径2中，$s\ge T_1$ 时期的货币增长率是 ${\mu }_s={\mu }^{\ast }$

具体来说，在路径1中，通货膨胀率 ${\pi }_t$ 在时间区间 $[0,T_1-1]$ 内保持在 ${\mu }_0$ 的水平。而在路径2中，从 $T_1$ 时刻开始，货币增长率 ${\mu }_s$ 永久性地降至 ${\mu }^{\ast }$ 的水平。

接下来我们将进行实验2，即研究一个完全出乎意料的突然稳定政策的”MIT冲击”的效果。

为了便于比较，我们将使用与实验1（可预期的突然稳定）相同的货币增长率序列 $\{{\mu }_t\}$。这样可以清晰地看出两种情况下经济变量的不同表现。

以下代码进行计算并绘制结果。

# 路径 1
μ_seq_2_path1 = μ0 * np.ones(T+1)

cm1 = create_cagan_model(μ_seq=μ_seq_2_path1)
π_seq_2_path1, m_seq_2_path1, p_seq_2_path1 = solve(cm1, T)

# 继续路径
μ_seq_2_cont = μ_star * np.ones(T-T1)

cm2 = create_cagan_model(m0=m_seq_2_path1[T1+1], 
                         μ_seq=μ_seq_2_cont)
π_seq_2_cont, m_seq_2_cont1, p_seq_2_cont1 = solve(cm2, T-1-T1)


# 方案1 - 简单粘合 π_seq, μ_seq
μ_seq_2 = np.concatenate((μ_seq_2_path1[:T1+1],
                          μ_seq_2_cont))
π_seq_2 = np.concatenate((π_seq_2_path1[:T1+1], 
                          π_seq_2_cont))
m_seq_2_regime1 = np.concatenate((m_seq_2_path1[:T1+1], 
                                  m_seq_2_cont1))
p_seq_2_regime1 = np.concatenate((p_seq_2_path1[:T1+1], 
                                  p_seq_2_cont1))

# 方案 2 - 重制 m_T1
m_T1 = (m_seq_2_path1[T1] + μ0) + cm2.α*(μ0 - μ_star)

cm3 = create_cagan_model(m0=m_T1, μ_seq=μ_seq_2_cont)
π_seq_2_cont2, m_seq_2_cont2, p_seq_2_cont2 = solve(cm3, T-1-T1)

m_seq_2_regime2 = np.concatenate((m_seq_2_path1[:T1+1], 
                                  m_seq_2_cont2))
p_seq_2_regime2 = np.concatenate((p_seq_2_path1[:T1+1],
                                  p_seq_2_cont2))

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T_seq = range(T+2)

# 绘制两个方案
fig, ax = plt.subplots(5, 1, figsize=(5, 12))

# 每个子图的配置
plot_configs = [
    {'data': [(T_seq[:-1], μ_seq_2)], 'ylabel': r'$\mu$'},
    {'data': [(T_seq, π_seq_2)], 'ylabel': r'$\pi$'},
    {'data': [(T_seq, m_seq_2_regime1 - p_seq_2_regime1)], 
     'ylabel': r'$m - p$'},
    {'data': [(T_seq, m_seq_2_regime1, '平滑的 $m_{T_1}$'), 
              (T_seq, m_seq_2_regime2, '非平滑的 $m_{T_1}$')], 
     'ylabel': r'$m$'},
    {'data': [(T_seq, p_seq_2_regime1, '平滑的 $p_{T_1}$'), 
              (T_seq, p_seq_2_regime2, '非平滑的  $p_{T_1}$')], 
     'ylabel': r'$p$'}
]

def experiment_plot(plot_configs, ax):
    #遍历每个子图配置
    for axi, config in zip(ax, plot_configs):
        for data in config['data']:
            if len(data) == 3:  # 绘制图表并添加图例标签
                axi.plot(data[0], data[1], label=data[2])
                axi.legend()
            else:  # 绘制无标签图表
                axi.plot(data[0], data[1])
        axi.set_ylabel(config['ylabel'])
        axi.set_xlabel(r'$t$')
    plt.tight_layout()
    plt.show()
    
experiment_plot(plot_configs, ax)

让我们将这些图表与实验1中的预期稳定化图表进行对比。

从图中可以看到几个有趣的现象:

第二副图中的通货膨胀率完全跟随了顶部面板中的货币增长率变化。同时，第三副图显示实际货币余额(以对数表示)在时间$T_1$处出现了向上跳跃。

底部两副图展示了$m_{T_1}$在满足$m-p$向上跳跃要求时可能的两种调整方式:

• 橙色线显示了$m_{T_1}$向上跳跃的情况,这确保了价格水平$p_{T_1}$不会下降

• 蓝色线则显示了让$p_{T_1}$下降而保持货币供应量平稳的情况

橙色线代表的政策可以这样理解:政府通过增发货币来支付支出,同时利用货币供应增长率永久下降带来的实际余额需求增加所产生的”速度红利”。

下面的代码将生成一个多面板图,把实验1和实验2的结果放在一起比较。

这让我们能够清楚地看到:当${\mu }_t$在$t=T_1$时突然永久下降时,这种变化是完全可预期的(如实验1)还是完全出乎意料的(如实验2)会带来怎样的差异。

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# 比较可预见冲击与不可预见冲击
fig, ax = plt.subplots(5, figsize=(5, 12))

plot_configs = [
    {'data': [(T_seq[:-1], μ_seq_2)], 'ylabel': r'$\mu$'},
    {'data': [(T_seq, π_seq_2, '不可预见的'), 
              (T_seq, π_seq_1, '可预见的')], 'ylabel': r'$p$'},
    {'data': [(T_seq, m_seq_2_regime1 - p_seq_2_regime1, '不可预见的'), 
              (T_seq, m_seq_1 - p_seq_1, '可预见的')], 'ylabel': r'$m - p$'},
    {'data': [(T_seq, m_seq_2_regime1, '不可预见的 (平滑的 $m_{T_1}$)'), 
              (T_seq, m_seq_2_regime2, '不可预见的 ($m_{T_1}$ 跳变)'),
              (T_seq, m_seq_1, '可预见的')], 'ylabel': r'$m$'},   
    {'data': [(T_seq, p_seq_2_regime1, '不可预见的 (平滑的 $m_{T_1}$)'), 
          (T_seq, p_seq_2_regime2, '不可预见的 ($m_{T_1}$ 跳变)'),
          (T_seq, p_seq_1, '可预见的')], 'ylabel': r'$p$'}   
]

experiment_plot(plot_configs, ax)

将上图与这篇讲座中描述的四次大通货膨胀的数据进行对比很有启发性。我们可以比较它们的价格水平对数和通货膨胀率走势。

从上面的图表中我们可以观察到一个有趣的现象:当通货膨胀稳定是可预见的时候,通货膨胀率会在”突然停止”之前就开始逐渐下降。相反,如果货币供应增长的永久性下降是出乎意料的,通货膨胀率会突然下降。

通过对比这篇讲座中描述的四次恶性通货膨胀的结尾阶段,quantecon的作者团队认为它们的通货膨胀率走势更接近实验2中”不可预见的稳定”的情况。

(当然,这种非正式的模式识别还需要更严谨的结构统计分析来支持。)

14.3.3.5. 实验3#

可预见的渐进稳定

除了研究实验1中那种突然稳定的情况,我们也来看看当稳定过程是渐进的、可预见的时候会发生什么。

具体来说,假设$\varphi \in (0,1)$,${\mu }_0>{\mu }^{\ast }$,且货币增长率按以下方式演变: $${\mu }_t={\varphi }^t{\mu }_0+(1-{\varphi }^t){\mu }^{\ast }.$$

接下来，我们进行一个实验，其中货币供应增长率会完全可预见地逐渐下降。

以下代码进行计算并绘制结果。

# 参数
ϕ = 0.9
μ_seq_stab = np.array([ϕ**t * μ0 + (1-ϕ**t)*μ_star for t in range(T)])
μ_seq_stab = np.append(μ_seq_stab, μ_star)

cm4 = create_cagan_model(μ_seq=μ_seq_stab)

π_seq_4, m_seq_4, p_seq_4 = solve(cm4, T)

sequences = (μ_seq_stab, π_seq_4, 
             m_seq_4 - p_seq_4, m_seq_4, p_seq_4)
plot_sequences(sequences, (r'$\mu$', r'$\pi$', 
                           r'$m - p$', r'$m$', r'$p$'))