11. 现值#

11.1. 概述#

本讲座描述了现值模型，这是许多资产定价理论的起点。

资产定价理论是关于许多经济决策理论的组成部分，包括

消费
劳动力供给
教育选择
货币需求

在资产定价理论中，更广泛的经济动态中，一个基本主题是不同时间序列之间的关系。

时间序列是按时间索引的序列。

在本讲座中，我们将把序列表示为向量。

因此，我们的分析通常归结为研究向量之间的关系。

本讲座中的主要工具将是

矩阵乘法，和
矩阵求逆。

我们将在后续讲座中使用这里描述的计算，包括消费平滑，均衡差异模型，和货币主义价格水平理论。

让我们开始吧。

11.2. 分析#

设

$\{d_t\}_{t=0}^T $ 是一系列股息或“支付”
$\{p_t\}_{t=0}^T $ 是从$t$日期开始的资产支付流的延续索赔价格序列，即$\{d_s\}_{s=t}^T $
$ \delta \in (0,1) $ 是一个周期的“折现因子”
$p_{T+1}^*$ 是时间$T+1$时资产的终端价格

我们假设股息流$\{d_t\}_{t=0}^T $和终端价格$p_{T+1}^*$都是外生的。

这意味着它们是在模型之外确定的。

假设资产定价方程序列

(11.1)#\[ p_t = d_t + \delta p_{t+1}, \quad t = 0, 1, \ldots , T \]

我们说方程s，复数，因为有$T+1$个方程，每个$t =0, 1, \ldots, T$都有一个。

方程(11.1)断言在时间$t$购买资产所支付的价格等于支付$d_t$加上时间$t+1$的价格乘以时间折现因子$\delta$。

通过将明天的价格乘以$\delta$来折现，考虑了“等待一个周期的价值”。

我们想要解决$T+1$个方程(11.1)的系统，以资产价格序列$\{p_t\}_{t=0}^T $作为股息序列$\{d_t\}_{t=0}^T $和外生终端价格$p_{T+1}^*$的函数。

像(11.1)这样的方程系统是线性差分方程的一个例子。

有强大的数学方法可以用来解决这样的系统，它们本身就值得研究，因为它们是分析许多有趣经济模型的基础。

例如，参见Samuelson乘数-加速器

在本讲座中，我们将使用矩阵乘法和矩阵求逆来解决系统(11.1)，这是线性代数中的基本工具，在线性方程和矩阵代数中介绍。

我们将导入以下的库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
fontP = font_manager.FontProperties()
fontP.set_family('SimHei')
fontP.set_size(14)

11.3. 将序列表示为向量#

系统(11.1)中的方程可以如下排列：

(11.2)#\[\begin{split} \begin{aligned} p_0 & = d_0 + \delta p_1 \\ p_1 & = d_1 + \delta p_2 \\ \vdots \\ p_{T-1} & = d_{T-1} + \delta p_T \\ p_T & = d_T + \delta p^*_{T+1} \end{aligned} \end{split}\]

将$T+1$个资产定价方程的系统(11.2)写成单个矩阵方程

(11.3)#\[ \begin{bmatrix} 1 & -\delta & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \cr 0 & 1 & -\delta & 0 & \cdots & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & -\delta & \cdots & 0 & 0 \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -\delta \cr 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_0 \cr p_1 \cr p_2 \cr \vdots \cr p_{T-1} \cr p_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_0 \cr d_1 \cr d_2 \cr \vdots \cr d_{T-1} \cr d_T \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \cr \vdots \cr 0 \cr \delta p_{T+1}^* \end{bmatrix} \]

Exercise 11.1

手动用矩阵乘法对(11.3)进行计算，然后用 (11.2)确认。

用向量-矩阵表示法，我们可以将系统(11.3)写成

(11.4)#\[ A p = d + b \]

这里$A$是方程(11.3)左侧的矩阵，而

\[\begin{split} p = \begin{bmatrix} p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_T \end{bmatrix}, \quad d = \begin{bmatrix} d_0 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_T \end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad b = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ p^*_{T+1} \end{bmatrix} \end{split}\]

价格向量的解是

(11.5)#\[ p = A^{-1}(d + b) \]

例如，假设股息流是

\[ d_{t+1} = 1.05 d_t, \quad t = 0, 1, \ldots , T-1. \]

让我们编写Python代码来计算和绘制股息流。

T = 6
current_d = 1.0
d = []
for t in range(T+1):
    d.append(current_d)
    current_d = current_d * 1.05 

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(d, 'o', label='股息')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 26102 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-65F6}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)
/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 38388 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-95F4}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)
/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 32929 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-80A1}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)
/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 24687 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-606F}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)

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现在让我们来计算和绘制资产价格。

我们将 $\delta$ 和 $p_{T+1}^*$ 设定为

δ = 0.99
p_star = 10.0

让我们来建立矩阵 $A$

A = np.zeros((T+1, T+1))
for i in range(T+1):
    for j in range(T+1):
        if i == j:
            A[i, j] = 1
            if j < T:
                A[i, j+1] = -δ

让我们来一起检视$A$

array([[ 1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  ]])

让我们用 (11.5)来求解价格。

b = np.zeros(T+1)
b[-1] = δ * p_star
p = np.linalg.solve(A, d + b)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(p, 'o', label='资产价格')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 36164 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-8D44}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)
/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 20135 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-4EA7}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)
/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 20215 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-4EF7}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)
/home/runner/miniconda3/envs/quantecon/lib/python3.12/site-packages/IPython/core/pylabtools.py:170: UserWarning: Glyph 26684 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-683C}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  fig.canvas.print_figure(bytes_io, **kw)

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现在让我们来看一个周期性增长的股息序列：

\[ d_{t+1} = 1.01 d_t + 0.1 \sin t, \quad t = 0, 1, \ldots , T-1. \]

T = 100
current_d = 1.0
d = []
for t in range(T+1):
    d.append(current_d)
    current_d = current_d * 1.01 + 0.1 * np.sin(t)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(d, 'o-', ms=4, alpha=0.8, label='股息')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

_images/0981b9a82677bebf6697a809862e676bd481eba788159674bc9f583e392a4130.png

Exercise 11.2

当$p^*_{T+1} = 0$ 和 $\delta = 0.98$ 时，计算相对应的价格序列。

Solution to Exercise 11.2

我们改变之前的参数和矩阵$A$。

δ = 0.98
p_star = 0.0
A = np.zeros((T+1, T+1))
for i in range(T+1):
    for j in range(T+1):
        if i == j:
            A[i, j] = 1
            if j < T:
                A[i, j+1] = -δ

b = np.zeros(T+1)
b[-1] = δ * p_star
p = np.linalg.solve(A, d + b)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(p, 'o-', ms=4, alpha=0.8, label='资产价格')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

_images/47d465845ab2a6b13e953916d597b841790497b1c2d39af9df4908aaef7b5ce0.png

与现值计算相关的加权平均在很大程度上消除了周期。

11.4. 解析表达式#

根据逆矩阵定理，当$A B$是单位矩阵时，矩阵$B$是$A$的逆矩阵。

可以验证，(11.3)中的矩阵$A$的逆矩阵是

(11.6)#\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & \delta & \delta^2 & \cdots & \delta^{T-1} & \delta^T \cr 0 & 1 & \delta & \cdots & \delta^{T-2} & \delta^{T-1} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \cr 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \delta \cr 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \cr \end{bmatrix} \]

Exercise 11.3

通过证明$AA^{-1}$为单位矩阵来检查。

如果我们在 (11.5) 中使用表达式 (11.6) 并执行所指示的矩阵乘法，我们将发现

(11.7)#\[ p_t = \sum_{s=t}^T \delta^{s-t} d_s + \delta^{T+1-t} p_{T+1}^* \]

定价公式 (11.7) 断言两个组成部分相加得到资产价格 $p_t$：

一个基本组成部分 $\sum_{s=t}^T \delta^{s-t} d_s$，等于预期股息的贴现现值
一个泡沫组成部分 $\delta^{T+1-t} p_{T+1}^*$

基本组成部分由贴现因子 $\delta$ 和资产的支付（在这种情况下为股息）确定。泡沫组成部分是价格中不由基本面决定的部分。有时将泡沫组成部分重写为 $$ c \delta^{-t} $$ 更为方便，其中 $$ c \equiv \delta^{T+1}p_{T+1}^* $$

11.5. 关于泡沫的更多内容#

让我们暂时关注一种特殊情况，即一种永不支付股息的资产，在这种情况下

\[ \begin{bmatrix} d_0 \cr d_1 \cr d_2 \cr \vdots \cr d_{T-1} \cr d_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \cr \vdots \cr 0 \cr 0 \end{bmatrix} \]

在这种情况下，我们的 $T+1$ 资产定价方程系统 (11.1) 采用以下单一矩阵方程的形式：

(11.8)#\[ \begin{bmatrix} 1 & -\delta & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \cr 0 & 1 & -\delta & 0 & \cdots & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & -\delta & \cdots & 0 & 0 \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -\delta \cr 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_0 \cr p_1 \cr p_2 \cr \vdots \cr p_{T-1} \cr p_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \cr \vdots \cr 0 \cr \delta p_{T+1}^* \end{bmatrix} \]

显然，如果 $p_{T+1}^* = 0$，一个所有元素为零的价格向量 $p$ 可以解这个方程，此时我们定价公式 (11.7) 中只有基本面成分存在。

但让我们通过设置以下条件来激活泡沫成分：

(11.9)#\[ p_{T+1}^* = c \delta^{-(T+1)} \]

其中 $c$ 为某个正常数。

在这种情况下，当我们用方程 (11.6) 中的矩阵 $A^{-1}$ 乘以 (11.8) 的两边时，我们发现：

(11.10)#\[ p_t = c \delta^{-t} \]

11.6. 总回报率#

定义从 $t$ 期到 $t+1$ 期持有资产的总回报率为：

(11.11)#\[ R_t = \frac{p_{t+1}}{p_t} \]

将方程 (11.10) 代入方程 (11.11) 可以确认，一个价值完全来源于泡沫的资产的总回报率为：

\[ R_t = \delta^{-1} > 1 , t = 0, 1, \ldots, T \]

11.7. 练习#

Exercise 11.4

给出以下 $d$ 和 $p_{T+1}^*$ 设置下资产价格 $p_t$ 的分析表达式：

$p_{T+1}^* = 0, d_t = g^t d_0$（戈登增长公式的修改版）
$p_{T+1}^* = g^{T+1} d_0, d_t = g^t d_0$（普通的戈登增长公式）
$p_{T+1}^* = 0, d_t = 0$（一个无价值股票的价格）
$p_{T+1}^* = c \delta^{-(T+1)}, d_t = 0$（一个纯泡沫股票的价格）

Solution to Exercise 11.4

将上述每对 $p_{T+1}^*, d_t$ 代入方程 (11.7) 得到：

$p_t = \sum^T_{s=t} \delta^{s-t} g^s d_0$
$p_t = \sum^T_{s=t} \delta^{s-t} g^s d_0 + \delta^{T+1-t} g^{T+1} d_0$
$p_t = 0$
$p_t = c \delta^{-t}$