11. 现值#

11.1. 概述#

本讲座描述了现值模型，这是许多资产定价理论的起点。

资产定价理论是许多经济决策理论的组成部分，包括

消费
劳动力供给
教育选择
货币需求

在资产定价理论以及更广泛的经济动态研究中，一个基本主题是不同时间序列之间的关系。

时间序列是按时间索引的序列。

在本讲座中，我们将把序列表示为向量。

因此，我们的分析通常归结为研究向量之间的关系。

本讲座中的主要工具将是

矩阵乘法，和
矩阵求逆。

我们将在后续的许多讲座中使用这些工具，包括消费平滑，均衡差异模型，和货币主义价格水平理论。

让我们开始吧。

11.2. 分析#

设

${d_{t}}_{t = 0}^{T}$ 是一系列股息或“支付”
${p_{t}}_{t = 0}^{T}$ 是从时间 $t$ 开始的延续性的资产支付价格序列，即 ${d_{s}}_{s = t}^{T}$
$δ \in (0, 1)$ 是一个周期的“折现因子”
$p_{T + 1}^{*}$ 是 $T + 1$ 时资产的终端价格

我们假设股息序列 ${d_{t}}_{t = 0}^{T}$ 和终端价格 $p_{T + 1}^{*}$ 都是外生的。

这意味着它们是在模型之外确定的。

假设资产定价方程序列

(11.1)#

p_{t} = d_{t} + δ p_{t + 1}, t = 0, 1, \dots, T

我们称其为方程序列，因为有 $T + 1$ 个方程，每个 $t = 0, 1, \dots, T$ 都有一个。

方程(11.1)告诉我们在时间 $t$ 购买资产所支付的价格等于支付 $d_{t}$ 加上时间 $t + 1$ 的价格乘以时间折现因子 $δ$ 。

通过将明天的价格乘以 $δ$ 来折现，考虑了“等待一个周期的价值”。

我们想要解 $T + 1$ 个方程(11.1)的系统，以资产价格序列 ${p_{t}}_{t = 0}^{T}$ 作为股息序列 ${d_{t}}_{t = 0}^{T}$ 和外生终端价格 $p_{T + 1}^{*}$ 的函数。

像(11.1)这样的方程系统是线性差分方程的一个例子。

有许多强大的数学方法可以用来解决这样的系统，这些方法本身就很值得研究，因为它们是分析许多经济模型的基础。

例如，参见Samuelson乘数-加速器

在本讲座中，我们将使用矩阵乘法和矩阵求逆来解决系统(11.1)，这是线性代数中的基本工具，在线性方程和矩阵代数中有介绍。

我们将导入以下的库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
fontP = font_manager.FontProperties()
fontP.set_family('SimHei')
fontP.set_size(14)

11.3. 将序列表示为向量#

系统(11.1)中的方程可以如下排列：

(11.2)#

\begin{array}{r} \begin{aligned} p_{0} & = d_{0} + δ p_{1} \\ p_{1} & = d_{1} + δ p_{2} \\ ⋮ \\ p_{T - 1} & = d_{T - 1} + δ p_{T} \\ p_{T} & = d_{T} + δ p_{T + 1}^{*} \end{aligned} \end{array}

将 $T + 1$ 个资产定价方程的系统(11.2)写成单个矩阵方程

(11.3)#

[\begin{matrix} 1 & - δ & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - δ & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - δ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - δ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \\ ⋮ \\ p_{T - 1} \\ p_{T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ ⋮ \\ d_{T - 1} \\ d_{T} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ δ p_{T + 1}^{*} \end{matrix}]

Exercise 11.1

手动用矩阵乘法对(11.3)进行计算，然后用 (11.2)确认。

用向量-矩阵表示法，我们可以将系统(11.3)写成

(11.4)#

A p = d + b

这里 $A$ 是方程(11.3)左侧的矩阵，而

\begin{array}{r} p = [\begin{array}{c} p_{0} \\ p_{1} \\ ⋮ \\ p_{T} \end{array}], d = [\begin{array}{c} d_{0} \\ d_{1} \\ ⋮ \\ d_{T} \end{array}], and b = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ p_{T + 1}^{*} \end{array}] \end{array}

价格向量的解是

(11.5)#

p = A^{- 1} (d + b)

例如，假设股息流是

d_{t + 1} = 1.05 d_{t}, t = 0, 1, \dots, T - 1.

让我们编写Python代码来计算和绘制股息流。

import matplotlib as mpl
FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"
mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)
plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']

T = 6
current_d = 1.0
d = []
for t in range(T+1):
    d.append(current_d)
    current_d = current_d * 1.05 

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(d, 'o', label='股息')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

_images/25cf8a5a1bdc80851a67c321d1b84512a087d17bdeddbc988ede3f834bd6e373.png

现在让我们来计算和绘制资产价格。

我们将 $δ$ 和 $p_{T + 1}^{*}$ 设定为

δ = 0.99
p_star = 10.0

现在我们建立矩阵 $A$

A = np.zeros((T+1, T+1))
for i in range(T+1):
    for j in range(T+1):
        if i == j:
            A[i, j] = 1
            if j < T:
                A[i, j+1] = -δ

让我们将矩阵 $A$ 打印出来：

array([[ 1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  , -0.99],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  ]])

现在用 (11.5)来求解价格。

b = np.zeros(T+1)
b[-1] = δ * p_star
p = np.linalg.solve(A, d + b)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(p, 'o', label='资产价格')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

_images/e9b9791aa9fdf2d95e7032d09ce2f431288c25b41413c0b7b8f911b233be7470.png

现在让我们考虑一个周期性增长的股息序列：

d_{t + 1} = 1.01 d_{t} + 0.1 \sin t, t = 0, 1, \dots, T - 1.

T = 100
current_d = 1.0
d = []
for t in range(T+1):
    d.append(current_d)
    current_d = current_d * 1.01 + 0.1 * np.sin(t)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(d, 'o-', ms=4, alpha=0.8, label='股息')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

_images/4a5a86db37f6b3f8799746ea58955b55988370900ee2fef4b99f895d1153f2a1.png

Exercise 11.2

当 $p_{T + 1}^{*} = 0$ 和 $δ = 0.98$ 时，计算相对应的价格序列。

Solution to Exercise 11.2

我们改变之前的参数和矩阵 $A$ 。

δ = 0.98
p_star = 0.0
A = np.zeros((T+1, T+1))
for i in range(T+1):
    for j in range(T+1):
        if i == j:
            A[i, j] = 1
            if j < T:
                A[i, j+1] = -δ

b = np.zeros(T+1)
b[-1] = δ * p_star
p = np.linalg.solve(A, d + b)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(p, 'o-', ms=4, alpha=0.8, label='资产价格')
ax.legend()
ax.set_xlabel('时间')
plt.show()

_images/08faac744362d81f6a01cd54a4abd9a8b6a98b8e0cec3eaddc70aea6a87d791e.png

与现值计算相关的加权平均在很大程度上消除了周期。

11.4. 解析表达式#

根据逆矩阵定理，当 $A B$ 是单位矩阵时，矩阵 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。

可以验证，(11.3)中的矩阵 $A$ 的逆矩阵是

(11.6)#

A^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & δ & δ^{2} & \dots & δ^{T - 1} & δ^{T} \\ 0 & 1 & δ & \dots & δ^{T - 2} & δ^{T - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & δ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}]

Exercise 11.3

通过证明 $A A^{- 1}$ 为单位矩阵来验证这一点。

如果我们在 (11.5) 中使用表达式 (11.6) 并执行所指示的矩阵乘法，我们将发现

(11.7)#

p_{t} = \sum_{s = t}^{T} δ^{s - t} d_{s} + δ^{T + 1 - t} p_{T + 1}^{*}

定价公式 (11.7) 表明资产价格 $p_{t}$ 由两个组成部分相加得到：

基本面部分 $\sum_{s = t}^{T} δ^{s - t} d_{s}$ ，它等于预期股息的贴现现值
泡沫组成部分 $δ^{T + 1 - t} p_{T + 1}^{*}$

基本组成部分由贴现因子 $δ$ 和资产的支付（在这种情况下为股息）确定。

泡沫组成部分是其中不由基本面决定的价格部分。

有时将泡沫组成部分重写为

c δ^{- t}

更为方便，其中

c \equiv δ^{T + 1} p_{T + 1}^{*}

11.5. 关于泡沫的更多内容#

让我们暂时考虑一个从不支付股息的资产这个特殊情况，在这种情况下

[\begin{matrix} d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ ⋮ \\ d_{T - 1} \\ d_{T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

在这种情况下，我们的 $T + 1$ 资产定价方程系统 (11.1) 采用以下单一矩阵方程的形式：

(11.8)#

[\begin{matrix} 1 & - δ & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - δ & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - δ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - δ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \\ ⋮ \\ p_{T - 1} \\ p_{T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ δ p_{T + 1}^{*} \end{matrix}]

显然，如果 $p_{T + 1}^{*} = 0$ ，一个所有元素为零的价格向量 $p$ 可以解这个方程，此时我们定价公式 (11.7) 中只有基本面成分存在。

但让我们通过设置以下条件来激活泡沫成分：

(11.9)#

p_{T + 1}^{*} = c δ^{- (T + 1)}

其中 $c$ 为某个正数。

在这种情况下，当我们用方程 (11.6) 中的矩阵 $A^{- 1}$ 乘以 (11.8) 的两边时，我们发现：

(11.10)#

p_{t} = c δ^{- t}

11.6. 总回报率#

定义从 $t$ 期到 $t + 1$ 期持有资产的总回报率为：

(11.11)#

R_{t} = \frac{p_{t + 1}}{p_{t}}

将方程 (11.10) 代入方程 (11.11) 可以确认，一个价值完全来源于泡沫的资产的总回报率为：

R_{t} = δ^{- 1} > 1, t = 0, 1, \dots, T

11.7. 练习#

Exercise 11.4

给出以下 $d$ 和 $p_{T + 1}^{*}$ 设置下资产价格 $p_{t}$ 的分析表达式：

$p_{T + 1}^{*} = 0, d_{t} = g^{t} d_{0}$ （戈登增长公式的修改版）
$p_{T + 1}^{*} = g^{T + 1} d_{0}, d_{t} = g^{t} d_{0}$ （普通的戈登增长公式）
$p_{T + 1}^{*} = 0, d_{t} = 0$ （一个无价值股票的价格）
$p_{T + 1}^{*} = c δ^{- (T + 1)}, d_{t} = 0$ （一个纯泡沫股票的价格）

Solution to Exercise 11.4

将上述每对 $p_{T + 1}^{*}, d_{t}$ 代入方程 (11.7) 得到：

$p_{t} = \sum_{s = t}^{T} δ^{s - t} g^{s} d_{0}$
$p_{t} = \sum_{s = t}^{T} δ^{s - t} g^{s} d_{0} + δ^{T + 1 - t} g^{T + 1} d_{0}$
$p_{t} = 0$
$p_{t} = c δ^{- t}$