10. 基础经济学中的几何级数#

10.2.1. 无限几何级数#

我们感兴趣的第一种几何级数是无限级数

其中 $\cdots$ 表示级数无穷无尽地延伸。

关键公式是

为了证明关键公式 (10.1)，将两边乘以 $(1-c)$ 并验证如果 $c\in (-1,1)$，则结果是 方程 $1=1$。

10.2.2. 有限几何级数#

我们感兴趣的第二种级数是有限几何级数

其中 $T$ 是一个正整数。

关键公式是

备注： 上述公式适用于任何标量 $c$ 的值。我们不必将 $c$ 限制在 集合 $(-1,1)$ 中。

我们现在继续描述一些几何级数的著名经济应用。

10.3.1. 一个简单的模型#

有一组银行，命名为 $i=0,1,2,\dots$。

银行 $i$ 的贷款 $L_i$、存款 $D_i$ 和 准备金 $R_i$ 必须满足资产负债表方程（因为 资产负债表平衡）：

上面方程的左侧是银行的 资产 之和，即其未偿还贷款 $L_i$ 加上其现金准备金$R_i$。

右侧记录了银行 $i$ 的负债，即其存款人持有的存款 $D_i$；这些是银行对其存款人的借据（IOU），以支票账户或储蓄账户的形式（或在1914年之前，银行发行的 承诺按需兑换成金或银的银行票据）。

每个银行 $i$ 设置其准备金以满足方程

其中 $r\in (0,1)$ 是其 准备金-存款比率 或简称 准备金比率

• 准备金比率由政府设定或由银行 出于预防原因选择

接下来我们引入一个理论，指出银行 $i+1$ 的存款完全依赖于 银行 $i$ 发放的贷款，即

因此，我们可以认为银行按一条线排列， 银行 $i$ 的贷款立即存入 $i+1$

• 银行i从借方变成银行i+1的贷方

最后，我们添加一个关于银行 $0$ 存款外生水平的 初始条件

我们可以认为 $D_0$ 是系统中第一个 存款人存入第一个银行（即银行编号 $i=0$）的现金量。

现在我们做一些代数运算。

结合方程 (10.2) 和 (10.3) 告诉我们

这表明银行 $i$ 贷款其 存款的一部分 $(1-r)$ 并保留一部分 $r$ 作为现金准备金。

结合方程 (10.5) 和方程 (10.4) 告诉我们

这意味着

方程 (10.6) 表示 $D_i$ 是 几何级数 $D_0$ 和

的第 $i$ 项的乘积。

因此，我们银行系统中所有存款的总和 $i=0,1,2,\dots$ 是

10.3.2. 货币乘数#

货币乘数 是一个数字，表示向银行 $0$ 注入外生现金导致银行系统总存款增加的乘数因子。

方程 (10.7) 断言 货币乘数 是 $\frac{1}{r}$

• 在银行 $0$ 初始存入现金 $D_0$ 那么银行系统创造总存款 $\frac{D_0}{r}$。

• 初始存款 $D_0$ 作为准备金持有，按照 $D_0=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_i$ 分布在整个银行系统中。

10.4.1. 静态版本#

一个基本的凯恩斯国民收入决定模型由描述 $y$ 的总需求及其组成部分的三个方程组成。

第一个方程是一个国民收入恒等式，断言消费 $c$ 加上投资 $i$ 等于国民收入 $y$：

第二个方程是一个凯恩斯消费函数，断言人们消费其收入的一部分 $b\in (0,1)$：

部分 $b\in (0,1)$ 称为 边际消费倾向。

部分 $1-b\in (0,1)$ 称为 边际储蓄倾向。

第三个方程简单地说明投资在水平 $i$ 是外生的。

• 外生 意味着 在此模型之外确定。

将第二个方程代入第一个方程得到 $(1-b)y=i$。

求解这个方程得到

数量 $\frac{1}{1-b}$ 称为 投资乘数 或简称 乘数。

应用无限几何级数的求和公式，我们可以将上述方程写为

其中 $t$ 是一个非负整数。

因此，我们得出乘数的以下等效表达式：

表达式 $\sum _{t=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^t$ 激发了我们接下来用乘数描述的动态过程结果的解释。

10.4.2. 动态版本#

我们通过将非负整数 $t$ 解释为时间索引并改变消费函数形式来考虑时间因素，得出动态版本

• 我们增加收入影响消费存在一个时期的滞后

我们设 $c_t$ 为时间 $t$ 的消费，$i_t$ 为 时间 $t$ 的投资。

我们修改消费函数，使其形式为

这样 $b$ 就是上一期收入的边际消费倾向。

我们从一个初始条件开始，设定

我们还假设

这样投资随时间保持不变。

因此

以及

以及

继续推广，我们得到

或者

显然，当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 时，

备注 1： 上述公式通常用于说明在 $0$ 时刻投资的外生增加量 $\mathrm{\Delta }i$ 会在时刻$0,1,2,\dots$引发国民收入连续增长的动态过程

在时间 $0,1,2,\dots$。

备注 2 设 $g_t$ 为政府支出的外生序列。

如果我们将模型推广，使国民收入恒等式变为

那么前述论证的一个版本表明 政府支出乘数 也是 $\frac{1}{1-b}$，因此政府支出的永久增加最终导致国民收入增加，等于乘数乘以政府支出的增加。

10.5.1. 累积#

几何序列 (10.8) 告诉我们一美元投资并再投资于一个项目，其总名义回报率如何累积

• 这里我们假设净利息支付再投资于项目

• 因此，时间 $0$ 投资的 $1$ 美元在一个时期后支付利息 $r$ 美元，所以我们在时间 $1$ 有 $r+1=R$ 美元

• 在时间 $1$ 我们再投资 $1+r=R$ 美元，并在时间 $2$ 收到利息 $rR$ 美元加上 本金 $R$ 美元，所以我们在第 $2$ 期末收到 $rR+R=(1+r)R=R^2$ 美元

• 依此类推

显然，如果我们在时间 $0$ 投资 $x$ 美元并 再投资获益，那么序列

告诉我们账户在时间 $t=0,1,2,\dots$ 的累积情况。

10.5.2. 折现#

几何序列 (10.9) 告诉我们未来的美元以今天的美元衡量的价值。

记住 $R$ 的单位是时间 $t+1$ 的美元每 时间 $t$ 的美元。

因此

• $R^{-1}$ 的单位是时间 $t$ 的美元每时间 $t+1$ 的美元

• $R^{-2}$ 的单位是时间 $t$ 的美元每时间 $t+2$ 的美元

• 依此类推；$R^{-j}$ 的单位是时间 $t$ 的美元每 时间 $t+j$ 的美元

所以如果某人在时间 $t+j$ 拥有 $x$ 美元的债权， 那么它在时间 $t$（例如今天）值 $x{R}^{-j}$ 美元。

10.5.3. 资产定价的应用#

一个 租赁 需要在时间 $t=0,1,2,\dots$ 支付 $x_t$ 美元，其中

其中 $G=(1+g)$ 且 $g\in (0,1)$。

因此，租赁支付每期增加 $g$ 百分比。

由于一个即将揭示的原因，我们假设 $G<R$。

租赁的 现值 是

最后一行使用了无限几何级数的公式。

回想一下 $R=1+r$ 和 $G=1+g$ 并且 $R>G$ 和 $r>g$ 并且 $r$ 和 $g$ 通常是小 数，例如 .05 或 .03。

使用 $r=0$ 附近的 $\frac{1}{1+r}$ 的泰勒级数， 即，

并且 $r$ 很小以近似 $\frac{1}{1+r}\approx 1-r$。

使用此近似来写 $p_0$ 为

最后一步使用了近似 $rg\approx 0$。

近似

被称为 戈登公式，用于当名义 单期利率为 $r$ 且 $r>g$ 时无限支付流 $x_0{G}^t$ 的现值或当前价格。

我们还可以扩展资产定价公式，使其适用于有限租赁。

现在让租赁的支付流为 $x_t$，其中 $t=1,2,\dots ,T$，再次

该租赁的现值为：

利用 $R^{-(T+1)}$ 在 $r=0$ 处的泰勒级数我们得到：

类似地，利用 $G^{T+1}$ 在 $g=0$ 处的泰勒级数我们得到：

因此，我们得到以下近似值：

展开可得：

当 $T$ 相对于 $1/(rg)$ 较小时，我们也可以通过去除第二项 $rg{x}_0(T+1)$ 来近似，以获得有限流近似中的 $x_0(T+1)$。

我们将在 Python 中绘制不同 $T$、$g$ 和 $r$ 值下的真实有限流现值和两个近似值。

首先，我们在下面计算后绘制真实的有限流现值。

# 有限租赁的真实现值
def finite_lease_pv_true(T, g, r, x_0):
    G = (1 + g)
    R = (1 + r)
    return (x_0 * (1 - G**(T + 1) * R**(-T - 1))) / (1 - G * R**(-1))

# 有限租赁的第一次近似
def finite_lease_pv_approx_1(T, g, r, x_0):
    p = x_0 * (T + 1) + x_0 * r * g * (T + 1) / (r - g)
    return p

# 有限租赁的第二次近似
def finite_lease_pv_approx_2(T, g, r, x_0):
    return (x_0 * (T + 1))

# 无限期租赁
def infinite_lease(g, r, x_0):
    G = (1 + g)
    R = (1 + r)
    return x_0 / (1 - G * R**(-1))

现在我们已经定义了我们的函数，我们可以绘制一些结果。

首先，我们研究我们的近似质量。

def plot_function(axes, x_vals, func, args):
    axes.plot(x_vals, func(*args), label=func.__name__)

T_max = 50

T = np.arange(0, T_max+1)
g = 0.02
r = 0.03
x_0 = 1

our_args = (T, g, r, x_0)
funcs = [finite_lease_pv_true,
        finite_lease_pv_approx_1,
        finite_lease_pv_approx_2]
        # 三个我们想要比较的函数

fig, ax = plt.subplots()
for f in funcs:
    plot_function(ax, T, f, our_args)
ax.legend()
ax.set_xlabel('$T$ 期之后')
ax.set_ylabel('现值, $p_0$')
plt.show()

显然，我们的近似在 $T$ 的小值时表现良好。

然而，保持 $g$ 和 $r$ 不变，我们的近似在 $T$ 增加时会恶化。

接下来，我们比较不同租赁期限 $T$ 的无限期和有限期租赁现值。

# 无限和有限的收敛性
T_max = 1000
T = np.arange(0, T_max+1)
fig, ax = plt.subplots()
f_1 = finite_lease_pv_true(T, g, r, x_0)
f_2 = np.full(T_max+1, infinite_lease(g, r, x_0))
ax.plot(T, f_1, label='T-期租赁现值')
ax.plot(T, f_2, '--', label='无限期租赁现值')
ax.set_xlabel('$T$ 期之后')
ax.set_ylabel('现值, $p_0$')
ax.legend()
plt.show()

上图显示了当期限 $T\to +\mathrm{\infty }$ 时，期限为 $T$ 的租赁价值接近永久租赁的价值。

现在我们考虑 $r$ 和 $g$ 同时变化时的两种不同情况。

# 第一种情况
# 改变 r 和 g
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_ylabel('现值, $p_0$')
ax.set_xlabel('$T$-期之后')
T_max = 10
T=np.arange(0, T_max+1)

rs, gs = (0.9, 0.5, 0.4001, 0.4), (0.4, 0.4, 0.4, 0.5),
comparisons = (r'$\gg$', r'$>$', r'$\approx$', r'$<$')
for r, g, comp in zip(rs, gs, comparisons):
    ax.plot(finite_lease_pv_true(T, g, r, x_0), label=f'r(={r}) {comp} g(={g})')

ax.legend()
plt.show()

此图为为什么条件 $r>g$ 是必要的提供了一个重要提示，如果期限为 $T=+\mathrm{\infty }$ 的租赁要有有限的价值。

对于喜欢 3D 图表的粉丝来说，以下图表也能说明同样的观点。

如果你不喜欢 3D 图表，可以跳过以下可视化！

# 第二种情况
fig = plt.figure(figsize = [16, 5])
T = 3
ax = plt.subplot(projection='3d')
r = np.arange(0.01, 0.99, 0.005)
g = np.arange(0.011, 0.991, 0.005)

rr, gg = np.meshgrid(r, g)
z = finite_lease_pv_true(T, gg, rr, x_0)

# 移除未定义的点
same = (rr == gg)
z[same] = np.nan
surf = ax.plot_surface(rr, gg, z, cmap=cm.coolwarm,
    antialiased=True, clim=(0, 15))
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
ax.set_xlabel('$r$')
ax.set_ylabel('$g$')
ax.set_zlabel('现值, $p_0$')
ax.view_init(20, 8)
plt.show()

我们可以用一些微积分来研究租赁现值 $p_0$ 如何随 $r$ 和 $g$ 变化。

我们将使用一个名为 SymPy 的库。

SymPy 使我们能够进行符号数学计算，包括计算代数方程的导数。

我们将通过创建一个符号表达式来说明它的工作原理，该表达式表示我们无限期租赁的现值公式。

之后，我们将使用 SymPy 来计算导数。

# 创建可用于代数表达式的代数符号
g, r, x0 = sym.symbols('g, r, x0')
G = (1 + g)
R = (1 + r)
p0 = x0 / (1 - G * R**(-1))
init_printing(use_latex='mathjax')
print('我们的公式是：')
p0

我们的公式是：

print('dp0 / dg 为：')
dp_dg = sym.diff(p0, g)
dp_dg

dp0 / dg 为：

print('dp0 / dr 为：')
dp_dr = sym.diff(p0, r)
dp_dr

dp0 / dr 为：

我们可以看到，只要 $r>g$，$r>0$ 且 $g>0$ 并且 $x_0$ 为正，$\frac{\partial p_0}{\partial r}<0$，所以 $\frac{\partial p_0}{\partial r}$ 将始终为负。

同样地，只要 $r>g$，$r>0$ 且 $g>0$ 并且 $x_0$ 为正，$\frac{\partial p_0}{\partial g}>0$，所以 $\frac{\partial p_0}{\partial g}$ 将始终为正。