23. 一维动力学#
23.1. 概述#
在经济学中，许多变量依赖于它们的过去值。
例如，我们有理由相信去年的通货膨胀会影响今年的通货膨胀。 （也许去年的高通胀会导致人们要求更高的工资作为补偿，这将导致今年的价格进一步上涨。）
让\(\pi_t\)表示今年的通货膨胀率，\(\pi_{t-1}\)表示去年的通货膨胀率，我们可以用一般形式将这种关系写成：
其中\(f\)是描述变量之间关系的某个函数。
这个方程是一维离散时间动态系统的一个例子。
在本讲座中，我们将介绍一维离散时间动力学的基础知识。
（虽然大多数定量模型有两个或更多的状态变量，但一维设置是学习基础知识和理解关键概念的好地方。）
让我们从一些标准导入开始：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
23.2. 一些定义#
本节阐述了我们关注的对象和研究的属性类型。
23.2.1. 函数组合#
对于本讲座，您应该了解以下内容：
如果
\(g\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，且
\(f\) 是从 \(B\) 到 \(C\) 的函数，
那么 \(f\) 和 \(g\) 的组合 \(f \circ g\) 定义为
例如，如果
\(A=B=C=\mathbb R\)，即实数集，
\(g(x)=x^2\) 且 \(f(x)=\sqrt{x}\)，那么 \((f \circ g)(x) = \sqrt{x^2} = |x|\)。
如果 \(f\) 是从 \(A\) 到其自身的函数，那么 \(f^2\) 是 \(f\) 与自身的组合。
例如，如果 \(A = (0, \infty)\)，即正数集，且 \(f(x) = \sqrt{x}\)，那么
同样，如果 \(n\) 是正整数，那么 \(f^n\) 是 \(f\) 与自身的 \(n\) 次组合。
在上面的例子中，\(f^n(x) = x^{1/(2^n)}\)。
23.2.2. 动态系统#
（离散时间）动态系统是一个集合 \(S\) 和一个将集合 \(S\) 映射回自身的函数 \(g\)。
动态系统的例子包括：
\(S = (0, 1)\) 且 \(g(x) = \sqrt{x}\)
\(S = (0, 1)\) 且 \(g(x) = x^2\)
\(S = \mathbb Z\)（整数集）且 \(g(x) = 2 x\)
另一方面，如果 \(S = (-1, 1)\) 且 \(g(x) = x+1\)，那么 \(S\) 和 \(g\) 不构成动态系统，因为 \(g(1) = 2\)。
\(g\) 并不总是将 \(S\) 中的点映射回 \(S\)。
我们关心动态系统是因为我们可以用它们来研究动态！
给定由集合 \(S\) 和函数 \(g\) 组成的动态系统，我们可以通过设定
来创建 \(S\) 中点的序列 \(\{x_t\}\)。
这意味着我们选择 \(S\) 中的某个数 \(x_0\)，然后取
这个序列 \(\{x_t\}\) 被称为 \(x_0\) 在 \(g\) 下的轨迹。
在这种情况下，\(S\) 被称为状态空间，\(x_t\) 被称为状态变量。
回想一下 \(g^n\) 是 \(g\) 与自身的 \(n\) 次组合， 我们可以更简单地将轨迹写为 $\( x_t = g^t(x_0) \quad \text{对于} t = 0, 1, 2, \ldots \)$
在接下来的所有内容中，我们假设 \(S\) 是 \(\mathbb R\)（实数集）的子集。
方程 (23.1) 有时被称为一阶差分方程
一阶意味着只依赖于一个滞后（即，像 \(x_{t-1}\) 这样的早期状态不会出现在 (23.1) 中）。
23.2.3. 示例：线性模型#
动态系统的一个简单例子是当 \(S=\mathbb R\) 且 \(g(x)=ax + b\) 时，其中 \(a, b\) 是常数（有时称为”参数”）。
这导致了线性差分方程 $\( x_{t+1} = a x_t + b \quad \text{其中} x_0 \text{已给定}。 \)\( \)x_0$ 的轨迹是
继续这样下去，并利用我们对几何级数的知识，我们发现，对于任何 \(t = 0, 1, 2, \ldots\)，
我们得到了所有非负整数 \(t\) 的 \(x_t\) 的精确表达式，从而完全理解了其动态。
特别注意，如果 \(|a| < 1\)，那么根据上式，我们有
无论 \(x_0\) 为何值。
这是所谓全局稳定性的一个例子，我们将在后面再次讨论这个话题。
23.2.4. 示例：非线性模型#
在上面的线性例子中，我们得到了 \(x_t\) 关于任意非负整数 \(t\) 和 \(x_0\) 的精确解析表达式。
这使得动态分析变得非常容易。
然而，当模型是非线性时，情况可能会大不相同。
例如，在后面的索洛讲座中，我们将研究索洛-斯旺增长模型，其动态为
这里 \(k=K/L\) 是人均资本存量，\(s\) 是储蓄率，\(A\) 是全要素生产率，\(\alpha\) 是资本份额，\(\delta\) 是折旧率。
所有这些参数都是正数，且 \(0 < \alpha, \delta < 1\)。
如果你尝试像我们在线性模型中那样迭代，你会发现代数运算很快就变得复杂。
分析这个模型的动态需要一种不同的方法（见下文）。
23.3. 稳定性#
考虑一个动态系统，由集合 \(S \subset \mathbb R\) 和将 \(S\) 映射到 \(S\) 的函数 \(g\) 组成。
23.3.1. 稳态#
该系统的稳态是 \(S\) 中的一个点 \(x^*\)，满足 \(x^* = g(x^*)\)。
换句话说，\(x^*\) 是函数 \(g\) 在 \(S\) 中的一个不动点。
例如，对于线性模型 \(x_{t+1} = a x_t + b\)，你可以使用定义来验证：
当 \(a \not= 1\) 时，\(x^* := b/(1-a)\) 是一个稳态，
如果 \(a = 1\) 且 \(b=0\)，那么每个 \(x \in \mathbb R\) 都是稳态，
如果 \(a = 1\) 且 \(b \not= 0\)，那么这个线性模型在 \(\mathbb R\) 中没有稳态。
23.3.2. 全局稳定性#
如果对于所有的 \(x_0 \in S\)，都有
那么动态系统的稳态 \(x^*\) 被称为全局稳定的。
例如，在线性模型 \(x_{t+1} = a x_t + b\) 中，当 \(a \not= 1\) 时，稳态 \(x^*\)
如果 \(|a| < 1\)，则是全局稳定的，
否则不是全局稳定的。
这直接从方程 (23.4) 得出。
23.3.3. 局部稳定性#
如果存在一个 \(\epsilon > 0\)，使得
那么动态系统的稳态 \(x^*\) 被称为局部稳定的。
显然，每个全局稳定的稳态也是局部稳定的。
下面是一个反之不成立的例子。
Example 23.1
考虑 \(\mathbb{R}\) 上的自映射 \(g\)，定义为 \(g(x)=x^2\)。不动点 \(1\) 不是稳定的。
例如，对于任何 \(x>1\)，\(g^t (x)\to\infty\)。
然而，\(0\) 是局部稳定的，因为当 \(-1<x<1\) 时，\(g^t (x)\to 0\)（当 \(t\to\infty\)）。
由于我们有多个不动点，\(0\) 不是全局稳定的。
23.4. 图形分析#
如我们上面所见，分析非线性模型的动态是非常复杂的。
没有一种单一的方法可以处理所有的非线性模型。
然而，对于一维模型，有一种技术可以提供大量的直观理解。
这是一种基于45度图的图形方法。
让我们看一个例子：索洛-斯旺模型，其动态由(23.6)给出。
我们首先从一些绘图代码开始，你可以在第一次阅读时忽略这些代码。
这段代码的功能是生成45度图和时间序列图。
Show source
def subplots():
"通过原点的自定义子图轴"
fig, ax = plt.subplots()
# 通过原点设置坐标轴
for spine in ['left', 'bottom']:
ax.spines[spine].set_position('zero')
ax.spines[spine].set_color('green')
for spine in ['right', 'top']:
ax.spines[spine].set_color('none')
return fig, ax
def plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=6, var='x'):
xgrid = np.linspace(xmin, xmax, 200)
fig, ax = subplots()
ax.set_xlim(xmin, xmax)
ax.set_ylim(xmin, xmax)
ax.set_xlabel(r'${}_t$'.format(var), fontsize=14)
ax.set_ylabel(r'${}_{}$'.format(var, str('{t+1}')), fontsize=14)
hw = (xmax - xmin) * 0.01
hl = 2 * hw
arrow_args = dict(fc="k", ec="k", head_width=hw,
length_includes_head=True, lw=1,
alpha=0.6, head_length=hl)
ax.plot(xgrid, g(xgrid), 'b-', lw=2, alpha=0.6, label='g')
ax.plot(xgrid, xgrid, 'k-', lw=1, alpha=0.7, label='45')
x = x0
xticks = [xmin]
xtick_labels = [xmin]
for i in range(num_arrows):
if i == 0:
ax.arrow(x, 0.0, 0.0, g(x), **arrow_args) # x, y, dx, dy
else:
ax.arrow(x, x, 0.0, g(x) - x, **arrow_args)
ax.plot((x, x), (0, x), 'k', ls='dotted')
ax.arrow(x, g(x), g(x) - x, 0, **arrow_args)
xticks.append(x)
xtick_labels.append(r'${}_{}$'.format(var, str(i)))
x = g(x)
xticks.append(x)
xtick_labels.append(r'${}_{}$'.format(var, str(i+1)))
ax.plot((x, x), (0, x), 'k', ls='dotted')
xticks.append(xmax)
xtick_labels.append(xmax)
ax.set_xticks(xticks)
ax.set_yticks(xticks)
ax.set_xticklabels(xtick_labels)
ax.set_yticklabels(xtick_labels)
bbox = (0., 1.04, 1., .104)
legend_args = {'bbox_to_anchor': bbox, 'loc': 'upper right'}
ax.legend(ncol=2, frameon=False, **legend_args, fontsize=14)
plt.show()
def ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=6, var='x'):
fig, ax = subplots()
ax.set_ylim(xmin, xmax)
ax.set_xlabel(r'$t$', fontsize=14)
ax.set_ylabel(r'${}_t$'.format(var), fontsize=14)
x = np.empty(ts_length)
x[0] = x0
for t in range(ts_length-1):
x[t+1] = g(x[t])
ax.plot(range(ts_length),
x,
'bo-',
alpha=0.6,
lw=2,
label=r'${}_t$'.format(var))
ax.legend(loc='best', fontsize=14)
ax.set_xticks(range(ts_length))
plt.show()
让我们为索洛-斯旺模型创建一个45度图，使用固定的参数集。以下是对应该模型的更新函数。
def g(k, A = 2, s = 0.3, alpha = 0.3, delta = 0.4):
return A * s * k**alpha + (1 - delta) * k
这里是一个45度图。
xmin, xmax = 0, 4 # 适合的绘图区域
plot45(g, xmin, xmax, 0, num_arrows=0)
图表显示了函数 \(g\) 和45度线。
将 \(k_t\) 视为横轴上的一个值。
要计算 \(k_{t+1}\)，我们可以使用 \(g\) 的图像来查看其在纵轴上的值。
显然，
如果在这一点上 \(g\) 位于45度线之上，那么我们有 \(k_{t+1} > k_t\)。
如果在这一点上 \(g\) 位于45度线之下，那么我们有 \(k_{t+1} < k_t\)。
如果在这一点上 \(g\) 与45度线相交，那么我们有 \(k_{t+1} = k_t\)，所以 \(k_t\) 是一个稳态。
对于索洛-斯旺模型，当 \(S = \mathbb R_+ = [0, \infty)\) 时，有两个稳态。
原点 \(k=0\)
唯一的正数，使得 \(k = s z k^{\alpha} + (1 - \delta) k\)。
通过一些代数运算，我们可以证明在第二种情况下，稳态是
23.4.1. 轨迹#
根据前面的讨论，在 \(g\) 位于45度线之上的区域，我们知道轨迹是递增的。
下图追踪了这样一个区域内的轨迹，使我们能更清楚地看到这一点。
初始条件是 \(k_0 = 0.25\)。
k0 = 0.25
plot45(g, xmin, xmax, k0, num_arrows=5, var='k')
我们可以按照上图所示，绘制人均资本随时间变化的时间序列图，具体如下：
ts_plot(g, xmin, xmax, k0, var='k')
这里是一个稍长一些的视角：
ts_plot(g, xmin, xmax, k0, ts_length=20, var='k')
当人均资本存量高于唯一的正稳态值时，我们可以看到它呈下降趋势：
k0 = 2.95
plot45(g, xmin, xmax, k0, num_arrows=5, var='k')
这里是一个时间序列：
ts_plot(g, xmin, xmax, k0, var='k')
23.4.2. 复杂动态#
索洛-斯旺模型是非线性的，但仍然产生非常规律的动态。
一个能产生不规则动态的模型是二次映射 $\( g(x) = 4 x (1 - x), \qquad x \in [0, 1] \)$
让我们来看看45度图。
xmin, xmax = 0, 1
g = lambda x: 4 * x * (1 - x)
x0 = 0.3
plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=0)
现在让我们来看一个典型的轨迹。
plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=6)
注意它是多么不规则。
这是相应的时间序列图。
ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=6)
在更长的时间范围内，这种不规则性甚至更加明显：
ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=20)
23.5. 练习#
Exercise 23.1
再次考虑线性模型 \(x_{t+1} = a x_t + b\)，其中 \(a \not=1\)。
唯一的稳态为 \(b / (1 - a)\)。
当 \(|a| < 1\) 时，该稳态是全局稳定的。
尝试通过观察一系列初始条件来图形化地说明这一点。
在 \(a \in (-1, 0)\) 和 \(a \in (0, 1)\) 的情况下，你注意到了什么区别？
使用 \(a=0.5\) 然后使用 \(a=-0.5\) 并研究轨迹。
在整个过程中设置 \(b=1\)。
Solution to Exercise 23.1
我们将从 \(a=0.5\) 的情况开始。 让我们设置模型和绘图区域：
a, b = 0.5, 1
xmin, xmax = -1, 3
g = lambda x: a * x + b
现在让我们来绘制轨迹：
x0 = -0.5
plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=5)
这是相应的时间序列，它收敛于稳态。
ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=10)
现在让我们尝试 \(a=-0.5\) 并观察有什么不同。
让我们设置模型和绘图区域：
a, b = -0.5, 1
xmin, xmax = -1, 3
g = lambda x: a * x + b
现在让我们来绘制轨迹：
x0 = -0.5
plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=5)
这是相应的时间序列，它收敛于稳态。
ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=10)
我们再次观察到收敛于稳态的情况，但收敛的性质有所不同。
特别是，时间序列在稳态上方和下方来回跳跃。
在当前的语境中，这个序列被称为呈现阻尼振荡。